2004-全国卷IV理-11 单-正弦定理与余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） $△ABC$ 中， $a、b、c$ 分别为 $\angle A、\angle B、\angle C$ 的对边. 如果 $a、b、c$ 成等差数列， $\angle B=30^{\circ }$， $△ABC$ 的面积为 $\frac{3}{2}$，那么 $b=$ ()

A. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$　　　　B. $1+\sqrt{3}$　　　　C. $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$　　　　D. $2+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化面积条件：已知 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{3}{2}$，将 $\angle B=30^{\circ }$ 代入可求出 $ac$ 的值。
2. 转化等差数列条件：由 $a,b,c$ 成等差数列，根据等差中项定义可得 $a+c=2b$。
3. 联立余弦定理求解：在 $△ABC$ 中，根据余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。将右边改写为含有 $a+c$ 与 $ac$ 的对称结构 $(a+c{)}^2-2ac-2ac\cos B$，代入前面得到的关系，即可转化为关于 $b$ 的一元二次方程，求解即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用面积公式求出 $ac$ 根据三角形面积公式： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$ 代入已知数据 $S_{△ABC}=\frac{3}{2}$ 和 $\angle B=30^{\circ }$： $\frac{1}{2}ac\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{3}{2}⟹\frac{1}{2}ac\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}⟹\frac{1}{4}ac=\frac{3}{2}⟹ac=6$

• 第二步：利用等差中项建立 $a+c$ 与 $b$ 的关系 因为 $a,b,c$ 成等差数列，根据等差中项的性质有： $a+c=2b$

• 第三步：利用余弦定理建立关于 $b$ 的方程 由余弦定理可知： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 为了便于代入 $a+c$ 和 $ac$，将右侧配方变形为： $b^2=(a+c{)}^2-2ac-2ac\cos B$ 将 $a+c=2b$，$ac=6$， $\angle B=30^{\circ }$ 代入上式： $b^2=(2b{)}^2-2\times 6-2\times 6\times \cos 30^{\circ }$ $b^2=4b^2-12-12\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^2=4b^2-12-6\sqrt{3}$ 移项合并同类项，得： $3b^2=12+6\sqrt{3}⟹b^2=4+2\sqrt{3}$

• 第四步：开方化简二次根式 为了求出 $b$，对右侧进行完全平方化简（双重二次根式化简）： $4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}\times 1+1^2=(\sqrt{3}+1{)}^2$ 由于 $b$ 为三角形边长，必有 $b>0$，两边开方得： $b=\sqrt{3}+1=1+\sqrt{3}$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$、等差中项性质、余弦定理的代数变形技巧（配方法）。
2. 核心方法：整体代换法、双重二次根式开方法。
3. 避坑指南：
   • 切忌盲目解出 $a$ 和 $c$ 的具体值。联立 $\{\begin{array}{l}ac=6\\ a+c=2b\end{array}$ 虽能通过构造一元二次方程来表达 $a,c$，但会导致计算极其繁琐且容易出错。利用余弦定理中 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac$ 整体代换是解此类题最核心的降维技术。
   • 开方时面对 $4+2\sqrt{3}$ 不要惊慌，注意观察常数项 $4=3+1$，恰好与中间项 $2\sqrt{3}\cdot 1$ 拼成完全平方公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自经典高考中解三角形与代数数列交汇的常规考题。
2. 结论推广: 一般地，在 $△ABC$ 中，若已知 $\angle B$、面积 $S$ 且两邻边 $a,c$ 满足线性组合关系 $\alpha a+\beta c=\gamma$，求对边 $b$ 时，标准求解路径均为：由 $S\to ac\to$ 配方转化 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac$（或由线性组合消元）$\to$ 余弦定理一元化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2018-全国卷I理-17 解-正弦定理
• 2021-天津卷-16 解-解三角形