2004-全国卷IV理-04 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的指数扩张。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） ${\left(\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2=$ ()

A. $\sqrt{3}+\text{i}$　　　　B. $-\sqrt{3}-\text{i}$　　　　C. $\sqrt{3}-\text{i}$　　　　D. $-\sqrt{3}+\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 策略一（分子分母分别平方法）：利用幂的运算性质 ${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^2=\frac{z_1^2}{z_2^2}$，先将分子和分母分别展开平方。这种方法的优势在于分母 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 是一纯虚数，化简极其迅速。
2. 策略二（先除后方法）：先对括号内部的分式进行分母实数化，分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$，化为 $a+b\text{i}$ 的标准代数形式后，再应用完全平方公式展开。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

选择**策略一（分子分母分别平方法）**进行求解：

根据商的乘方性质，将原式变形为： ${\left(\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2=\frac{(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^2}{(1+\text{i}{)}^2}$

• 第一步：展开分子 利用完全平方公式 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ 展开，注意 ${\text{i}}^2=-1$： $(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^2=1^2-2\times 1\times \sqrt{3}\text{i}+(\sqrt{3}\text{i}{)}^2=1-2\sqrt{3}\text{i}-3=-2-2\sqrt{3}\text{i}$

• 第二步：展开分母 $(1+\text{i}{)}^2=1^2+2\text{i}+{\text{i}}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

• 第三步：分式相除化简 将分子与分母的结果代回分式中： $\text{原式}=\frac{-2-2\sqrt{3}\text{i}}{2\text{i}}$ 分子分母同时约去系数 2： $=\frac{-1-\sqrt{3}\text{i}}{\text{i}}$ 分子分母同乘以 $-\text{i}$（或将分母 $\text{i}$ 提到分子变为 $-\text{i}$）以进行分母实数化： $=\frac{(-1-\sqrt{3}\text{i})(-\text{i})}{\text{i}(-\text{i})}=\frac{\text{i}+\sqrt{3}{\text{i}}^2}{1}=\text{i}-\sqrt{3}=-\sqrt{3}+\text{i}$

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位特征 ${\text{i}}^2=-1$、纯虚数分母实数化法则、复数乘方。
2. 核心方法：分子分母先行平方律。
3. 避坑指南：
   • 熟记特殊复数乘方结论可以大幅提速。在日常练习中应牢记 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$，这样在本题中可以直接口算出分母为 $2\text{i}$，避免重复推导。
   • 注意分母含有 $\text{i}$ 时的变号问题。最后一步中 $\sqrt{3}\text{i}\times (-\text{i})=-\sqrt{3}{\text{i}}^2=-\sqrt{3}(-1)=+\sqrt{3}$，符号的连续转换中极易因粗心算错，导致误选 (A) 或 (C)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考复数板块概念与代数基础计算题。
2. 结论推广: 本题亦可引入复数的三角形式（极坐标形式）解决：分子 $1-\sqrt{3}\text{i}=2{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\pi }{3}}$，分母 $1+\text{i}=\sqrt{2}{\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{4}}$。 两式相除得： $\sqrt{2}{\text{e}}^{-\text{i}\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)}=\sqrt{2}{\text{e}}^{-\text{i}\frac{7\pi }{12}}$。 进行平方： ${\left(\sqrt{2}{\text{e}}^{-\text{i}\frac{7\pi }{12}}\right)}^2=2{\text{e}}^{-\text{i}\frac{7\pi }{6}}=2\left[\cos \left(-\frac{7\pi }{6}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{7\pi }{6}\right)\right]=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)=-\sqrt{3}+\text{i}$。 三角形式更适用于高次幂（如 10 次幂以上）的复数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式