2004-全国卷IV理-03 单-直线相互垂直的斜率关系

本题导读

本题考查直线相互垂直的斜率关系，以及直线方程的点斜式与一般式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 过点 $(-1,3)$ 且垂直于直线 $x-2y+3=0$ 的直线方程为 ()

A. $2x+y-1=0$　　　　　　　　　　　　　B. $2x+y-5=0$

C. $x+2y-5=0$　　　　　　　　　　　　　D. $x-2y+7=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（斜率法）：先将已知直线 $x-2y+3=0$ 化为斜截式，求出其斜率 $k_1$。利用垂直直线斜率性质 $k_1\cdot k_2=-1$ 求出所求直线的斜率 $k_2$。最后通过点斜式写出方程，并化为一般式。
2. 方法二（直线系法）：对于已知直线 $Ax+By+C=0$，与其垂直的直线系方程可设为 $Bx-Ay+\lambda =0$。直接将已知系数代入设出方程，再把已知点坐标代入求出常数项 $\lambda$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一（斜率法）： 将已知直线方程 $x-2y+3=0$ 移项变形为斜截式： $2y=x+3⟹y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 由此可知，已知直线的斜率 $k_1=\frac{1}{2}$。

设所求直线的斜率为 $k_2$，因为两直线相互垂直，所以： $k_1\cdot k_2=-1⟹\frac{1}{2}\cdot k_2=-1⟹k_2=-2$

已知所求直线过点 $(-1,3)$，且斜率 $k_2=-2$，由点斜式方程得： $y-3=-2[x-(-1)]$ 化简方程： $y-3=-2(x+1)$ $y-3=-2x-2$ 将所有项移到等号左侧，化为一般式： $2x+y-1=0$

方法二（垂直直线系法）： 已知直线方程为 $x-2y+3=0$，根据垂直直线系公式，可设所求的垂直直线方程为： $2x+y+\lambda =0$ 将已知点 $(-1,3)$ 的坐标代入该直线方程中以确立常数项： $2\times (-1)+3+\lambda =0$ $-2+3+\lambda =0⟹1+\lambda =0⟹\lambda =-1$ 将 $\lambda =-1$ 代回原设方程中，得到所求直线方程为： $2x+y-1=0$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两条直线垂直的充要条件 $k_1\cdot k_2=-1$（一般式下为 $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$）、直线方程的一般式结构。
2. 核心方法：垂直直线系待定系数法（最速解法）。
3. 避坑指南：
   • 在使用斜率法时注意点斜式正负号漏看。如 $x-(-1)$ 错看成 $x-1$，会导致算出的方程常数项出错。
   • 使用直线系法时注意系数调换与符号的更替。将 $Ax+By+C=0$ 转化为垂直直线系时， $x$ 和 $y$ 的系数不仅互换，且其中有且仅有一项需要改变正负号（即 $A$ 和 $B$ 变成 $B$ 和 $-A$）。若本题误写成 $2x-y+\lambda =0$，将导致彻底算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典平面解析几何中关于直线位置关系的基本运算题。
2. 结论推广: 一般地，过定点 $(x_0,y_0)$ 且垂直于已知直线 $Ax+By+C=0$ 的直线方程可以直接套用点法式或定点直线系公式秒杀： $B(x-x_0)-A(y-y_0)=0$。代入本题数据： $-2(x+1)-1(y-3)=0⟹-2x-2-y+3=0⟹2x+y-1=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切