2004-全国卷IV理-01 单-集合的表示方法

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及集合的基本运算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 已知集合 $M=\{0,1,2\}$, $N=\{x|x=2a,a\in M\}$，则集合 $M\cap N=$ ()

A. $\{0\}$　　　　　　B. $\{0,1\}$　　　　　　C. $\{1,2\}$　　　　　　D. $\{0,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解集合 $N$：由描述法定义可知，集合 $N$ 的元素 $x$ 是由 $2a$ 构成的，其中 $a$ 属于集合 $M$。因此需将 $M$ 中的元素 $0,1,2$ 分别代入 $x=2a$ 进行计算，用列举法写出集合 $N$。
2. 求交集 $M\cap N$：寻找集合 $M$ 与集合 $N$ 中相同的元素，组合成新集合即可。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $M=\{0,1,2\}$，且 $N=\{x|x=2a,a\in M\}$， 当 $a=0$ 时， $x=2\times 0=0$； 当 $a=1$ 时， $x=2\times 1=2$； 当 $a=2$ 时， $x=2\times 2=4$。 所以集合 $N=\{0,2,4\}$。

根据交集的定义， $M\cap N$ 表示属于 $M$ 且属于 $N$ 的公共元素构成的集合： $M=\{0,1,2\}$ $N=\{0,2,4\}$ 两集合的公共元素为 $0$ 和 $2$。 所以 $M\cap N=\{0,2\}$。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合描述法向列举法的转化、交集运算性质。
2. 核心方法：元素列举法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将代表元素与代表元满足的条件混淆。描述法中竖线前面的 $x$ 是集合的真正元素，竖线后面是约束。本题代表元是 $x$ 而不是 $a$，要警惕不能直接把 $a\in M$ 错认成 $N=M$。
   • 计算集合 $N$ 时需注意集合的互异性，本题求得的元素 $0,2,4$ 各不相同，符合要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考集合基本运算入门第1题。
2. 结论推广: 对于有限集合 $M$，定义新集合 $N=\{f(x)|x\in M\}$，则 $M\cap N=\{y\in M|\exists x\in M,f(x)=y\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 1988-上海-22 解-集合的交集