2004-全国卷IV文-21 解-四棱锥体积与垂直

本题导读

本题考查四棱锥的体积与线线垂直。核心在于由二面角定高，建系用数量积证垂直。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$AB=8$，$AD=4\sqrt{3}$，侧面 $PAD$ 为等边三角形，并且与底面所成二面角为 $60^{\circ }$.

(1) 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积；

(2) 证明：$PA\perp BD$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AD$ 中点 $E$，$PE\perp AD$，$PE=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=6$。
2. 二面角 $60^{\circ }$，高 $PH=PE\sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}$，求体积。
3. 建系用 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 证垂直。

✅【答案】

Success

(1) $96$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $E$ 为 $AD$ 中点，$H$ 为 $P$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。因侧面 $PAD$ 为等边三角形，$PE\perp AD$，且 $PE=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4\sqrt{3}=6$.二面角 $\angle PEH=60^{\circ }$，故 $PH=PE\sin 60^{\circ }=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.体积 $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot PH=\frac{1}{3}\times 8\times 4\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=96$. （2）由 $PE=6$、$\angle PEH=60^{\circ }$ 得 $EH=PE\cos 60^{\circ }=3$，又 $EH\perp AD$、$AB\perp AD$，故 $EH\parallel AB$.建系使 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 分别为 $x$、$y$ 轴正向，底面 $z=0$，则 $B=(8,0,0)$，$D=(0,4\sqrt{3},0)$，$P=(3,2\sqrt{3},3\sqrt{3})$.于是 $\overrightarrow{PA}=(-3,-2\sqrt{3},-3\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(-8,4\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=24-24+0=0$，故 $PA\perp BD$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱锥体积与垂直
2. 核心方法：（1）$E$ 为 $AD$ 中点，$PE\perp AD$，$PE=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=6$；二面角 $60^{\circ }$，$PH=PE\sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}$，$V=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=96$；（2）建系 $A$ 为原点，$B=(8,0,0)$、$D=(0,4\sqrt{3},0)$、$P=(3,2\sqrt{3},3\sqrt{3})$，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=(-3,-2\sqrt{3},-3\sqrt{3})\cdot (-8,4\sqrt{3},0)=0$
3. 避坑指南：$PE=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4\sqrt{3}=6$；高 $PH=PE\sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}$；射影 $H=(3,2\sqrt{3},0)$（$EH=3$ 沿 $AB$ 方向）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于四棱锥的体积与垂直，教材”空间向量与立体几何”
2. 结论推广: 一般化：面面所成二面角定高，建系用数量积证线线垂直；由 $PE$ 与二面角求高 $PH$；垂直用两方向向量点积为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-19 解-四棱锥面面垂直与体积
• 2010-新课标Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直与体积
• 2012-广东卷文-18 解-四棱锥垂直与体积