2004-全国卷IV文-10 单-和角公式求最值

本题导读

本题考查和角公式，以及三角函数的最小值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 函数 $y=2\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)$（$x\in \mathbf{R}$）的最小值等于()

A. $-3$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $-\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\sqrt{3}\cos x-\sin x$。
2. $\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$。
3. 相减得 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$，振幅 $1$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$2\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)=\sqrt{3}\cos x-\sin x$，$\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$.故原式 $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$，振幅为 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=1$，最小值为 $-1$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：和角公式求最值
2. 核心方法：$2\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\sqrt{3}\cos x-\sin x$，$\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$；差为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$，振幅 $1$，最小 $-1$
3. 避坑指南：用和角公式展开相减，得 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$；振幅 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于和角公式与辅助角，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$a\sin (\alpha \pm x)\pm b\cos (\beta \pm x)$ 展开合并后化辅助角；展开后合并同名项，再用辅助角 $R=\sqrt{A^2+B^2}$ 定最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-06 单-同角三角函数与和角公式
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值