2004-全国卷IV文-04 单-导数在某点的值

本题导读

本题考查导数的运算，以及函数在某点处的导数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 函数 $y=(x+1{)}^2(x-1)$ 在 $x=1$ 处的导数等于()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 令 $f(x)=(x+1{)}^2(x-1)$。
2. $f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-1)+(x+1{)}^2$。
3. 代入 $x=1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $f(x)=(x+1{)}^2(x-1)$，由乘积求导 $f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-1)+(x+1{)}^2$.代入 $x=1$ 得 $f^{\prime }(1)=2\times 2\times 0+2^2=4$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在某点的值
2. 核心方法：$f(x)=(x+1{)}^2(x-1)$，$f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-1)+(x+1{)}^2$，$f^{\prime }(1)=0+4=4$
3. 避坑指南：乘积求导 $f^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；$(x-1)$ 在 $x=1$ 处为 $0$，但第二项 $(x+1{)}^2$ 不为 $0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数的计算，教材”导数的运算”
2. 结论推广: 一般化：乘积函数求导 $f=uv$，$f^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；先求导再代入，注意 $(x-1)$ 在 $x=1$ 为零但另一项不为零

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-03 单-反函数求值
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程
• 2007-湖北文-13 填-导数的几何意义切线