2004-全国卷III理-14 填-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数在闭区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 函数 $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 提取公因式合并：利用辅助角公式，提取 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$，将其化简为单一正弦函数形式。
2. 确定整体角范围：由自变量 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，通过加上差求出复合自变量 $x+\frac{\pi }{3}$ 的精确取值区间。
3. 求极值最值：结合正弦函数在此区间段内的单调性，找出使函数取得最小值的角，计算出最小值。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式对原函数进行恒等变形化简： $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ 因为 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$， $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入上式得： $y=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

已知自变量 $x$ 的取值区间为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，即： $0⩽x⩽\frac{\pi }{2}$ 同时加上 $\frac{\pi }{3}$ 以构造整体角范围： $0+\frac{\pi }{3}⩽x+\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}⩽x+\frac{\pi }{3}⩽\frac{5\pi }{6}$

根据正弦函数 $y=\sin t$ 在各象限的性质分析其在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的分布：

• 当 $t\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，函数单调递增， $\sin t$ 从 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 增长到 $1$；
• 当 $t\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 时，函数单调递减， $\sin t$ 从 $1$ 减小到 $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

比较两个边界端点的正弦值大小： $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \frac{\pi }{5\pi /6}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 因为 $\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以当整体角 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$（即 $x=\frac{\pi }{2}$）时，正弦值取得区间内的绝对最小值。

此时，函数的最小值为： $y_{\min }=2\times \sin \frac{5\pi }{6}=2\times \frac{1}{2}=1$

答：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 的应用、换元法控制新变量范围。
2. 核心方法：整体复合角单调性分析法。
3. 避坑指南：
   • 切勿想当然地直接把 $x=0$ 代入求最小值。如果直接带入 $x=0$，会得到 $y=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}$。但通过整体角分析，发现该函数在区间内是先增后减的，最小值实际上是在另一个端点 $x=\frac{\pi }{2}$ 处取得。务必坚持“先看范围，再看单调性”的雷打不动原则。
   • 化简时注意辅助角 $\phi$ 的象限，这里 $a=1>0,b=\sqrt{3}>0$，对应第一象限角 $\frac{\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典初等三角函数辅助角与闭区间最值问题。
2. 结论推广: 对于函数 $y=a\sin x+b\cos x$ 在闭区间上的最值，标准流程永远是：化归 $\to$ 换元（令 $t=x+\phi$） $\to$ 锁定新区间 $\to$ 结合正弦曲线波峰波谷形态输出最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-11 单-辅助角求最值
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值