2004-全国卷III理-13 填-球的性质与截面圆

本题导读

本题考查球的性质与截面圆，以及球的表面积公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 用平面 $\alpha$ 截半径为 $R$ 的球，如果球心到平面 $\alpha$ 的距离为 $\frac{R}{2}$，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建空间直角三角形：设球心为 $O$，平面 $\alpha$ 截球得小圆的圆心为 $O^{\prime }$。在小圆圆周上任取一点 $A$，则 $OA=R$（球半径）， $O{O}^{\prime }=\frac{R}{2}$（球心到平面的距离），且 $O{O}^{\prime }\perp O^{\prime }A$。线段 $O^{\prime }A$ 即为小圆的半径 $r$。
2. 求小圆半径：在 $\text{Rt}△O{O}^{\prime }A$ 中，利用勾股定理 $r=\sqrt{R^2-d^2}$ 求出 $r^2$ 的代数式。
3. 比值计算：由小圆面积公式 $S_{\text{小圆}}=\pi r^2$ 和球的表面积公式 $S_{\text{球}}=4\pi R^2$，代入参数直接求出比值。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，球心到截面平面 $\alpha$ 的距离为 $d=\frac{R}{2}$，截得小圆的半径为 $r$。

球心、截面圆心与截面圆周上任意一点构成一个直角三角形。根据空间几何中的勾股定理： $r^2=R^2-d^2$

将 $d=\frac{R}{2}$ 代入上式中： $r^2=R^2-{\left(\frac{R}{2}\right)}^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3}{4}{R}^2$

计算截得小圆的面积： $S_{\text{小圆}}=\pi r^2=\frac{3}{4}\pi R^2$

已知球的表面积公式为： $S_{\text{球}}=4\pi R^2$

计算小圆面积与球表面积的比值： $\frac{S_{\text{小圆}}}{S_{\text{球}}}=\frac{\frac{3}{4}\pi R^2}{4\pi R^2}=\frac{\frac{3}{4}}{4}=\frac{3}{16}$

答：$\frac{3}{16}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面性质、空间勾股定理性质公式 $R^2=r^2+d^2$、球表面积公式。
2. 核心方法：几何定量代换法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将球表面积公式记错。球的表面积公式是 $4\pi R^2$，很多同学容易在紧张的考试中将其与圆面积（$\pi R^2$）或球体积公式中的系数搞混。
   • 计算比值时注意前后主被动顺序，题目要求的是“小圆面积与球表面积的比值”，所以分子是小圆，分母是球。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典空间立体几何立体图形切截基础题。
2. 结论推广: 一般地，用距离球心为 $d$ 的平面去截半径为 $R$ 的球，所截得的小圆面积与球表面积的比值满足恒等通用关系式： $\frac{S_{\text{小圆}}}{S_{\text{球}}}=\frac{\pi (R^2-d^2)}{4\pi R^2}=\frac{1}{4}\left[1-{\left(\frac{d}{R}\right)}^2\right]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比