2004-全国卷III理-10 单-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 在 $△ABC$ 中， $AB=3,BC=\sqrt{13},AC=4$，则边 $AC$ 上的高为 ()

A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 求角余弦值：已知 $△ABC$ 的三边长，优先考虑利用余弦定理求出角 $A$ 的余弦值 $\cos A$。
2. 切变正弦值：利用同角三角函数的平方关系 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 求出 $\sin A$。
3. 求高几何化：作 $BD\perp AC$ 于 $D$，则 $BD$ 即为边 $AC$ 上的高。在 $\text{Rt}△ABD$ 中，利用定义直接得出 $BD=AB\cdot \sin A$。也可以通过面积恒等性质法 $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$ 求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，记 $a=BC=\sqrt{13}$， $b=AC=4$， $c=AB=3$。

根据余弦定理，求出内角 $A$ 的余弦值： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+3^2-(\sqrt{13}{)}^2}{2\times 4\times 3}$ $\cos A=\frac{16+9-13}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

因为 $A$ 是三角形的内角，且 $\cos A=\frac{1}{2}>0$，所以 $A=60^{\circ }$（或通过平方关系直接求解正弦值）。 利用同角三角函数关系求出正弦值： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

过点 $B$ 作 $BD\perp AC$ 于点 $D$，则线段 $BD$ 的长度即为边 $AC$ 上的高。 在 $\text{Rt}△ABD$ 中，根据正弦的定义： $BD=AB\cdot \sin A=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的基本应用、正余弦转换、解直角三角形。
2. 核心方法：面积桥梁法或直角三角形投影法。
3. 避坑指南：
   • 求出 $\cos A=\frac{1}{2}$ 后，务必注意其正负号以确定角的位置。若算出的余弦值为负，说明该内角为钝角，高线垂足将落在边 $AC$ 的延长线上。虽然最终用 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$ 算高时由于正弦值在第一、二象限均为正而不受影响，但在复杂的综合大题中，分清钝角与锐角对画图和建立辅助线至关重要。
   • 注意题目求的是“边 $AC$ 上的高”，对应的是从顶点 $B$ 出发的垂线，不要错拿其他两条边当底。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考解三角形板块基本运算题。
2. 结论推广: 一般地，已知三角形三边长 $a,b,c$，求边 $b$ 上的高 $h_b$，可直接通过通用面积桥公式一步到位： $h_b=c\cdot \sin A=c\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1959-全国-03 解-已知角与面积求两边
• 2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积
• 2007-浙江文-18 解-正余弦定理解三角形