2004-全国卷III理-09 单-正三棱锥的结构与性质

本题导读

本题考查正三棱锥的结构与性质，以及棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ()

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构剖析：正三棱锥的侧棱长均相等。由于侧面均为直角三角形，且顶角不可能是直角（底面为等边三角形，若顶角为直角，则底面边长与侧棱长矛盾），因此直角只能是顶点处的顶角，即三条侧棱两两垂直。
2. 方法一（割补墙角法）：既然三条侧棱两两垂直，该三棱锥本质上就是一个以顶点为原点的“墙角”几何体。可选择其中任意一个侧面作为新底面，则第三条侧棱即为高，从而极大地简化体积计算。
3. 方法二（常规高线法）：先由侧面直角三角形的勾股定理求出侧棱长，再求出底面正三角形的面积，最后通过底面中心求出三棱锥的高，代入体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一（割补墙角法）： 设正三棱锥为 $P-ABC$，其中 $P$ 为顶点，底面 $ABC$ 是边长为 2 的正三角形。 由于该三棱锥为正三棱锥，故其三条侧棱相等，设 $PA=PB=PC=l$。 又侧面均为直角三角形，在等腰 $\text{Rt}△PAB$ 中，只能是顶角 $\angle APB=90^{\circ }$。 同理可得 $\angle BPC=90^{\circ },\angle CPA=90^{\circ }$。 即从顶点 $P$ 出发的三条侧棱 $PA,PB,PC$ 两两相互垂直。

在 $\text{Rt}△PAB$ 中，由勾股定理得： $P{A}^2+P{B}^2=A{B}^2⟹l^2+l^2=2^2⟹2l^2=4⟹l=\sqrt{2}$

由于 $PA,PB,PC$ 两两垂直，我们可以将 $△PBC$ 看作该三棱锥的底面，则侧棱 $PA$ 即为该底面上的高。 此时，底面 $△PBC$ 是直角边长为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，其面积为： $S_{△PBC}=\frac{1}{2}\times PB\times PC=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1$

利用三棱锥的体积公式，变换底面重组计算： $V=V_{A-PBC}=\frac{1}{3}\times S_{△PBC}\times PA=\frac{1}{3}\times 1\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱锥的侧棱相等特性、三条棱两两垂直的特殊体积求法（墙角模型）。
2. 核心方法：等体积变换法（变换底面法）。
3. 避坑指南：
   • 切勿找错直角所在的位置。因为底面是边长为 2 的正三角形，如果直角在底面顶点（如 $\angle PAB=90^{\circ }$），则直角三角形的斜边将是底面边长，导致各侧面无法保持全等的等腰状态，与“正三棱锥”矛盾。因此，直角只能位于锥体的顶点 $P$ 处。
   • 遇到三条侧棱两两垂直的模型，万不可常规地去求底面积和锥体高，常规法需要求底面中心并用复杂的空间勾股定理算高，极易在激进的计算中因根号繁多而算错。利用“变换底面”将其看作直角碎块，口算即可破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典空间立体几何中关于正方体截角（墙角锥）的形变考查。
2. 结论推广: 一般地，从一个直角坐标系的原点出发，在三个轴上分别截取长度为 $a,b,c$ 的线段，则这三个截点与原点所围成的三棱锥（直角三棱锥）的体积恒满足通用公式： $V=\frac{1}{6}abc$。本题中 $a=b=c=\sqrt{2}$，直接代入通式即可秒杀： $V=\frac{1}{6}\times (\sqrt{2}{)}^3=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积
• 1985-上海理-14 单-棱锥与内切圆
• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积