2004-全国卷III理-08 单-绝对值不等式的解法

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式的性质与区间表示。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 不等式 $1<|x+1|<3$ 的解集为 ()

A. $(0,2)$　B. $(-2,0)\cup (2,4)$　C. $(-4,0)$　D. $(-4,-2)\cup (0,2)$

🔍【思路分析】

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1. 方法一（等价转化法）：含绝对值的双边不等式 $a<|t|<b(0<a<b)$，其代数等价形式为 $a<t<b$ 或 $-b<t<-a$。直接代入整体变量 $t=x+1$ 求解。
2. 方法二（几何距离法）： $|x+1|$ 在数轴上表示点 $x$ 到点 $-1$ 的距离。题目要求该距离大于 1 且小于 3，可通过在数轴上以 $-1$ 为中心向左右两侧辐射边界点来直接圈定范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一（等价转化法）： 根据绝对值不等式的同解变形特征，双边不等式 $1<|x+1|<3$ 可等价转化为以下两个独立的常规一元一次不等式组：

• 情况一： $1<x+1<3$ 各部分同时减去 1 得： $0<x<2⟹x\in (0,2)$

• 情况二： $-3<x+1<-1$ 各部分同时减去 1 得： $-4<x<-2⟹x\in (-4,-2)$

将两种互斥情况的解集取并集，得到原不等式的最终解集为： $(-4,-2)\cup (0,2)$

方法二（几何距离法）： 在数轴上， $|x-x_0|$ 表示未知点 $x$ 到固定源点 $x_0$ 的绝对距离。 将原式变形为： $1<|x-(-1)|<3$。 这表示在数轴上，点 $x$ 到点 $-1$ 的距离严格介于 1 到 3 之间。

• 在点 $-1$ 的右侧：
  • 距离为 1 的点是 $-1+1=0$；
  • 距离为 3 的点是 $-1+3=2$。
  • 故右侧满足条件的区间为 $(0,2)$。
• 在点 $-1$ 的左侧：
  • 距离为 1 的点是 $-1-1=-2$；
  • 距离为 3 的点是 $-1-3=-4$。
  • 故左侧满足条件的区间为 $(-4,-2)$。

综上所述，最终解集为 $(-4,-2)\cup (0,2)$。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双边绝对值不等式的化简去模规则、绝对值的数轴距离几何模型。
2. 核心方法：等价区间分段法、数轴几何定位法。
3. 避坑指南：
   • 去绝对值符号时切记不要漏掉负值分支。不少同学容易想当然地只算正向的 $1<x+1<3⟹0<x<2$，从而误选 (A)；或者在转化负数端时误将方向弄反，务必牢记绝对值脱壳后负数分支的边界需要整体取相反数且颠倒大下界（即 $-3<x+1<-1$）。
   • 注意题目中全是不等号（没有等号），故最终所有边界点必须用开区间（圆括号）表示，若选项中出现方括号应予以排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的一元二次与绝对值不等式入门基础题。
2. 结论推广: 一般地，对于双边绝对值不等式 $a<|x-c|<b$（其中 $0\le a<b$），其通解可以直接套用标准结论模板： $x\in (c-b,c-a)\cup (c+a,c+b)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形