2004-全国卷III理-04 单-圆的切线方程

本题导读

本题考查圆的切线方程，以及直线垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 圆 $x^2+y^2-4x=0$ 在点 $P(1,\sqrt{3})$ 处的切线方程为 ()

A. $x+\sqrt{3}y-2=0$　　　　　　　　　　　　　B. $x+\sqrt{3}y-4=0$

C. $x-\sqrt{3}y+4=0$　　　　　　　　　　　　　D. $x-\sqrt{3}y+2=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 核实点的位置：将 $P(1,\sqrt{3})$ 代入圆的方程： $1^2+(\sqrt{3}{)}^2-4(1)=1+3-4=0$，确认点 $P$ 确实在圆上。
2. 方法一（几何垂直法）：求出圆的圆心 $C$ 坐标，计算圆心与切点连线 $CP$ 的斜率 $k_{CP}$。利用切线与半径垂直的关系 $k\cdot k_{CP}=-1$ 求出切线斜率 $k$，再由点斜式写出方程。
3. 方法二（切线通式法）：利用圆的切线代换通式，将 $x^2\to x_{0}x$，$y^2\to y_{0}y$，$x\to \frac{x_0+x}{2}$ 直接代入化简。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一（几何垂直法）： 将圆的方程 $x^2+y^2-4x=0$ 化为标准方程： $(x-2{)}^2+y^2=4$ 可知该圆的圆心为 $C(2,0)$。

计算圆心 $C(2,0)$ 与切点 $P(1,\sqrt{3})$ 连线的斜率 $k_{CP}$： $k_{CP}=\frac{\sqrt{3}-0}{1-2}=-\sqrt{3}$

因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以切线的斜率 $k$ 满足： $k\cdot k_{CP}=-1⟹k\cdot (-\sqrt{3})=-1⟹k=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

利用点斜式写出过点 $P(1,\sqrt{3})$ 的切线方程： $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$ 两边同乘以 3 得： $3y-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$ 移项并整理： $\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0$ 两边同除以 $\sqrt{3}$ 得： $x-\sqrt{3}y+2=0$

方法二（切线通式法）： 若点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 上，则过点 $P$ 的切线方程为： $x_{0}x+y_{0}y+D\cdot \frac{x_0+x}{2}+E\cdot \frac{y_0+y}{2}+F=0$ 将 $x_0=1,y_0=\sqrt{3},D=-4,E=0,F=0$ 代入上式： $1\cdot x+\sqrt{3}\cdot y-4\cdot \frac{1+x}{2}=0$ $x+\sqrt{3}y-2(1+x)=0$ $x+\sqrt{3}y-2-2x=0$ $-x+\sqrt{3}y-2=0⟹x-\sqrt{3}y+2=0$

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程转化、直线的点斜式方程、圆的切线性质（半径与切线垂直）。
2. 核心方法：几何垂直法、切线代换公式法。
3. 避坑指南：拿到题目后务必先验证已知点是否在圆上。若点在圆外，切线公式失效，需采用圆心到直线距离等于半径（$d=r$）的常规打法。在本题中由于点在圆上，利用切线通式代换是最不易在符号上犯错的秒杀方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何圆的切线方程问题。
2. 结论推广: 一般地，二次曲线 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 在其上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程，均可通过以下规则直接替换得到： $x^2\to x_{0}x$，$y^2\to y_{0}y$，$x\to \frac{x+x_0}{2}$，$y\to \frac{y+y_0}{2}$，$xy\to \frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}$。此代换规律（皆平方法则）在所有圆锥曲线中通用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切