2004-全国卷III理-03 单-等差数列的通项公式

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_2=-6,a_8=6$，$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 ()

A. $S_4<S_5$　　　B. $S_4=S_5$　　　C. $S_6<S_5$　　　D. $S_6=S_5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量法：设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_2=-6,a_8=6$ 联立方程组求出 $a_1$ 和 $d$。
2. 通项正负判定：求出通项公式 $a_n$，观察各单项的正负号，利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 判定前 $n$ 项和的递增或递减趋势。
3. 对称性法（秒杀）：利用等差数列的对称性，由 $a_2+a_8=a_5+a_5=0$ 直接锁定中间项 $a_5=0$，再利用 $S_5-S_4=a_5$ 或 $S_6-S_5=a_6$ 快速得出结论。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一（基本量法）： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，由题意得： $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=-6\\ a_1+7d=6\end{array}$ 两式相减得： $6d=12⟹d=2$。 将 $d=2$ 代入第一式得： $a_1+2=-6⟹a_1=-8$． 所以通项公式为： $a_n=-8+(n-1)\times 2=2n-10$

算出邻近几项的值以判断 $S_n$ 的大小关系：

• $a_5=2\times 5-10=0$
• $a_6=2\times 6-10=2$

根据前 $n$ 项和与通项的关系 $S_n-S_{n-1}=a_n$：

• 对于 (A) 和 (B)： $S_5-S_4=a_5=0⟹S_4=S_5$。
• 对于 (C) 和 (D)： $S_6-S_5=a_6=2>0⟹S_6>S_5$。

比对选项，(B) 选项正确。

方法二（对称性法）： 在等差数列中，若 $p+q=m+n$，则 $a_p+a_q=a_m+a_n$。 因为 $2+8=5+5=10$，所以： $a_2+a_8=2a_5$ 代入已知数据得： $-6+6=2a_5⟹2a_5=0⟹a_5=0$。 根据前 $n$ 项和的性质， $S_5-S_4=a_5=0$，直接推出 $S_4=S_5$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的通项性质、前 $n$ 项和与通项的递推关系。
2. 核心方法：基本量方程组法、下标和对称性质法。
3. 避坑指南：利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 可以不计算具体的 $S_n$ 公式而直接比较相邻和的大小，能大幅提高解题速度。做题时要注意看清选项中的不等号方向，避免主观直觉造成的粗心错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础等差数列性质题。
2. 结论推广: 一般地，若等差数列满足 $a_k+a_j=0$，且 $k+j=2m$（即下标和为偶数），则必有中间项 $a_m=0$，从而其前 $n$ 项和满足 $S_m=S_{m-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2013-新课标Ⅰ理-07 单-等差数列通项