2004-全国卷III理-02 单-正弦函数

本题导读

本题考查正弦函数的图象与性质，以及三角函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 函数 $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（图象变换法）：先求出不加绝对值的函数 $y=\sin \frac{x}{2}$ 的周期 $T_0$。加上整体绝对值后，函数图象在 $x$ 轴下方的部分全部翻折到 $x$ 轴上方，原函数的正负交替半周期变成了相同的重复单元，导致周期减半，即 $T=\frac{T_0}{2}$。
2. 方法二（公式降幂法）：利用降幂公式将绝对值符号隐去，转化为不含绝对值的余弦函数形式，直接利用基本周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一（图象变换法）： 基础函数 $y_0=\sin \frac{x}{2}$ 的自变量系数 $\omega =\frac{1}{2}$。 其最小正周期为： $T_0=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$ 当函数加上整体绝对值变为 $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$ 时，根据正弦函数绝对值图象变换规律， $x$ 轴下方的图象翻折到 $x$ 轴上方，函数的交替波峰波谷结构变成了连续的波峰结构，最小正周期变为原来的一半。 所以，该函数的最小正周期为： $T=\frac{T_0}{2}=\frac{4\pi }{2}=2\pi$

方法二（公式降幂法）： 利用二倍角余弦公式的变形（降幂公式）： ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$。 因为 $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|\ge 0$，我们可以将原函数平方再开方： $y=\sqrt{{\sin }^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ 显然，函数的周期完全由根号内部的 $\cos x$ 决定。 因为 $\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$，所以整个函数的最小正周期 $T=2\pi$。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数周期的基本运算、整体绝对值变换 $y=|f(x)|$ 对周期的减半效应。
2. 核心方法：图象翻折定性法、公式代数计算法。
3. 避坑指南：切忌牢记硬背公式。很多同学容易混淆 $y=|\sin \omega x|$ 与 $y=\sin |\omega x|$ 的区别。整体加绝对值 $y=|\sin \omega x|$ 周期减半（变为 $\frac{\pi }{|\omega |}$）；而自变量加绝对值 $y=\sin |\omega x|$ 图象关于 $y$ 轴对称，不再具有周期性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典初等三角函数性质微调题。
2. 结论推广: 一般地，正弦函数 $y=\sin \omega x$ 和余弦函数 $y=\cos \omega x$ （其中 $\omega \ne 0$）在加上整体绝对值后，即 $y=|\sin \omega x|$ 和 $y=|\cos \omega x|$，其最小正周期统一由 $\frac{2\pi }{|\omega |}$ 减半为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-上海-06 填-含绝对值三角函数的周期
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断