2004-全国卷III理-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及点集与方程组的解。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设集合 $M=\{(x,y)|x^2+y^2=1,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$N=\{(x,y)|x^2-y=0,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，则集合 $M\cap N$ 中元素的个数为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确集合元素的属性：集合 $M$ 表示圆 $x^2+y^2=1$ 上的所有点，集合 $N$ 表示抛物线 $y=x^2$ 上的所有点。
2. 集合 $M\cap N$ 中的元素个数，等价于圆与抛物线交点的个数，即联立方程组的实数解的组数。
3. 联立两方程，采用代入消元法解出符合题意的实数解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，联立集合 $M$ 与 $N$ 中的方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\text{（1）}\\ x^2-y=0\text{（2）}\end{array}$

由方程（2）得： $x^2=y\text{（3）}$ 由于 $x\in \mathbf{R}$，必有 $y\ge 0$。

将（3）代入（1）中消去 $x^2$，得关于 $y$ 的一元二次方程： $y+y^2=1⟹y^2+y-1=0$

解此一元二次方程，得： $y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\times 1\times (-1)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

因为 $y\ge 0$，而 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0$ 需舍去， 所以实数 $y$ 有且仅有一个有效解： $y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

将唯一的 $y$ 值代入 $x^2=y$ 中： $x^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 因为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}>0$，所以开平方可得 $x$ 有两个互为相反数的实数解： $x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

由此可得方程组共有 2 组不同的实数解： $\{\begin{array}{l}{x}_1=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\ y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\text{和}\{\begin{array}{l}{x}_2=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\ y_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

这意味着圆与抛物线在平面直角坐标系中共有 2 个不同的交点。 因此，集合 $M\cap N$ 中元素的个数为 2。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点集的交集、二次方程组的实数解、圆与抛物线的位置关系。
2. 核心方法：代入消元法。
3. 避坑指南：在消元得到 $y$ 的二次方程后，切勿仅凭 $y$ 有两个解就盲目认为最终有 4 个交点。必须严格结合定义域约束（本题中由 $x^2=y$ 隐含 $y\ge 0$），排除掉不合题意的负根，再分析对应的 $x$ 的实数根个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础的解析几何与集合交集交汇题。
2. 结论推广: 一般地，求点集 $M=\{(x,y)|f(x,y)=0\}$ 与 $N=\{(x,y)|g(x,y)=0\}$ 的交集元素个数，完全等价于求复杂方程组 $\{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}$ 的异属实数解的个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 1988-上海-22 解-集合的交集