2004-全国卷III文-15 填-辅助角求最值

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 函数 $y=\sin x-\frac{1}{2}\cos x$（$x\in \mathbf{R}$）的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 辅助角 $R=\sqrt{1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
2. $y=\frac{\sqrt{5}}{2}\sin (x-\phi )$。
3. 最大值为 $R=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sin (x-\phi )=\frac{\sqrt{5}}{2}\sin (x-\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{1}{2}$.故最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角求最值
2. 核心方法：$\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{5}}{2}\sin (x-\phi )$（$\tan \phi =\frac{1}{2}$）；最大值 $\frac{\sqrt{5}}{2}$
3. 避坑指南：辅助角 $R=\sqrt{1^2+(1/2{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；最大值为 $R$，别漏系数

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于辅助角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$；辅助角后最大值为模长 $\sqrt{a^2+b^2}$，别漏 $\frac{1}{2}$ 系数的平方

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值