2004-全国卷II理-21 解-抛物线

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系。核心在于设而不求法、参数方程与坐标代数化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 给定抛物线 $C:y^2=4x$，$F$ 是 $C$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A、B$ 两点.

(1) 设 $l$ 的斜率为 1，求 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 夹角的大小；

(2) 设 $\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$，若 $\lambda \in [4,9]$，求 $l$ 在 $y$ 轴上截距的变化范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基础信息标定：由 $y^2=4x$ 知 $2p=4⟹p=2$，焦点 $F(1,0)$。
2. 第(1)问切入点：写出斜率为 1 且过焦点 $F(1,0)$ 的直线方程 $y=x-1$。将其与抛物线方程联立，消元得到关于 $y$（或 $x$）的一元二次方程。利用韦达定理求出 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 的值，从而判断夹角。
3. 第(2)问切入点：直线 $l$ 必有斜率且不为 0。设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$，代入抛物线方程得关于 $y$ 的二次方程。将向量关系 $\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$ 转化为纵坐标的比例关系，解出 $m^2$ 与 $\lambda$ 的对应函数。
4. 截距范围求解：直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $-\frac{1}{m}$。通过 $\lambda$ 的取值范围，求出 $-\frac{1}{m}$ 的取值区间。

✅【答案】

Success

(1) $\arccos \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $C:y^2=4x$ 可知，其焦点为 $F(1,0)$。 设 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。

(1) 解： 当 $l$ 的斜率为 1 且过点 $F(1,0)$ 时，直线 $l$ 的方程为： $y=x-1⟹x=y+1$ 将 $x=y+1$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$ 中，得： $y^2=4(y+1)⟹y^2-4y-4=0$ 由韦达定理得： $\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=4\\ y_1{y}_2=-4\end{array}$ 又由 $x_1=y_1+1$，$x_2=y_2+1$，可得： $x_1{x}_2=(y_1+1)(y_2+1)=y_1{y}_2+(y_1+y_2)+1=-4+4+1=1$

计算向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=1+(-4)=-3$ 由于 $y_1^2=4x_1$，$y_2^2=4x_2$，计算各向量模长的乘积： $|\overrightarrow{OA}{|}^2\cdot |\overrightarrow{OB}{|}^2=(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1^2+4x_1)(x_2^2+4x_2)=x_1{x}_2(x_1+4)(x_2+4)$ $=x_1{x}_2[x_1{x}_2+4(x_1+x_2)+16]$ 因为 $x_1+x_2=(y_1+1)+(y_2+1)=(y_1+y_2)+2=4+2=6$，且 $x_1{x}_2=1$： $|\overrightarrow{OA}{|}^2\cdot |\overrightarrow{OB}{|}^2=1\times [1+4(6)+16]=41⟹|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{41}$ 设 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|}=-\frac{3}{\sqrt{41}}=-\frac{3\sqrt{41}}{41}$ 所以 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 夹角的大小为 $\arccos \left(-\frac{3\sqrt{41}}{41}\right)$。

(2) 解： 由题意，过焦点 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 倾斜角显然不为 0，可设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$。 直线在 $y$ 轴上的截距为当 $x=0$ 时的 $y$ 值，即 $0=my+1⟹y=-\frac{1}{m}$。 设截距为 $b=-\frac{1}{m}$。

将 $x=my+1$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$ 中，得： $y^2=4(my+1)⟹y^2-4my-4=0\text{（式1）}$ 根据韦达定理： $\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=4m\\ y_1{y}_2=-4\end{array}\text{（式2）}$

已知 $\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$。 因为 $F(1,0)$，所以 $\overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)$， $\overrightarrow{AF}=(1-x_1,-y_1)$。 由 $\vec{y}$ 分量对应相等，得： $y_2=-\lambda y_1⟹\lambda =-\frac{y_2}{y_1}\text{（式3）}$ 由于 $y_1{y}_2=-4<0$，说明 $y_1,y_2$ 异号，故 $\lambda =-\frac{y_2}{y_1}>0$ 与实际相符。

由（式3）可得 $y_2=-\lambda y_1$，代入（式2）中的 $y_1{y}_2=-4$ 得： $-\lambda y_1^2=-4⟹y_1^2=\frac{4}{\lambda }\text{（式4）}$ 将 $y_2=-\lambda y_1$ 代入（式2）中的 $y_1+y_2=4m$ 得： $(1-\lambda )y_1=4m⟹(1-\lambda {)}^2{y}_1^2=16m^2\text{（式5）}$ 将（式4）代入（式5）消去 $y_1^2$： $(1-\lambda {)}^2\cdot \frac{4}{\lambda }=16m^2⟹m^2=\frac{(1-\lambda {)}^2}{4}\lambda =\frac{{\lambda }^2-2\lambda +1}{4\lambda }$ 从而可求出 $m^2$ 的倒数： $\frac{1}{m^2}=\frac{4\lambda }{(\lambda -1{)}^2}$ 因为 $b=-\frac{1}{m}$，所以 $b^2=\frac{1}{m^2}=\frac{4\lambda }{(\lambda -1{)}^2}$。

设函数 $f(\lambda )=\frac{4\lambda }{(\lambda -1{)}^2}$，下面分析其在 $\lambda \in [4,9]$ 上的单调性。 分子分母同除以 $\lambda$： $f(\lambda )=\frac{4}{\frac{(\lambda -1{)}^2}{\lambda }}=\frac{4}{\lambda -2+\frac{1}{\lambda }}$ 根据对勾函数性质，当 $\lambda \ge 4$ 时， $g(\lambda )=\lambda +\frac{1}{\lambda }$ 是单调递增的。 因而分母 $\lambda -2+\frac{1}{\lambda }$ 在 $[4,9]$ 上单调递增，整个分式 $f(\lambda )$ 在 $[4,9]$ 上单调递减。

计算边界值：

• 当 $\lambda =4$ 时， $b_{\max }^2=f(4)=\frac{4\times 4}{(4-1{)}^2}=\frac{16}{9}$
• 当 $\lambda =9$ 时， $b_{\min }^2=f(9)=\frac{4\times 9}{(9-1{)}^2}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}$

所以 $b^2\in \left[\frac{9}{16},\frac{16}{9}\right]$。 开平方可得 $b$ 的取值范围。由于 $m$ 可正可负，故截距 $b=-\frac{1}{m}$ 亦可正可负： $b\in \left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$

答： $l$ 在 $y$ 轴上截距的变化范围是 $\left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与抛物线联立的交点弦性质、向量共线向坐标分量比例的转化、复杂分式函数的单调性与最值。
2. 核心方法：设 $x=my+1$ 的“避斜率不存在讨论”法。
3. 避坑指南：
   • 在第(2)问中，求出 $b^2\in \left[\frac{9}{16},\frac{16}{9}\right]$ 后，开方时千万不能漏掉负根。因为斜率 $m$ 既可以为正也可以为负，所以截距有对称的正负两段区间。
   • 联立直线与抛物线时，强烈建议设 $x=my+1$ 而不是 $y=k(x-1)$，这样既避免了对斜率 $k$ 不存在情况的繁琐讨论，又能直接让韦达定理产出常数项积 $y_1{y}_2=-4$，计算量能节省一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的焦点弦与向量的数量积，考查抛物线定义及弦的相关计算。
2. 结论推广: 过抛物线焦点的弦，可设直线方程与抛物线联立，用韦达定理表示两端点坐标关系，进而求 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 等几何量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1977-安徽理-06 解-抛物线与直线
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积