2004-全国卷II理-18 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合分析法、间接计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 $A、B$ 两组，每组 4 支.求：

(1) $A、B$ 两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(2) $A$ 组中至少有两支弱队的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 样本空间构建：从 8 支球队中随机选出 4 支进入 $A$ 组（剩余 4 支自动归入 $B$ 轴），基本事件总数为 $C_8^4$。
2. 第(1)问逻辑：两组中有一组恰有 2 支弱队，因为总共只有 3 支弱队，若一组有 2 支，则另一组必然只有 1 支。这等价于 $A$ 组恰有 2 支弱队（此时 $B$ 组有 1 支）或 $A$ 组恰有 1 支弱队（此时 $B$ 组有 2 支），两种情况互斥且概率相等。
3. 第(2)问逻辑： $A$ 组中至少有两支弱队，包含两种情况：$A$ 组恰有 2 支弱队，或 $A$ 组恰有 3 支弱队。分别计算出这两类的组合数，求和后除以总基本事件数。

✅【答案】

Success

(1) $A、B$ 两组中有一组恰有两支弱队的概率为 $\frac{6}{7}$

(2) $A$ 组中至少有两支弱队的概率为 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以从 8 支球队中随机选出 4 支分配到 $A$ 组作为基本事件，基本事件总数为： $n=C_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$

(1) 求 $A、B$ 两组中有一组恰有两支弱队的概率： 总共共有 3 支弱队， 5 支非弱队（强队）。 两组中有一组恰有两支弱队，包含以下两种互斥情况：

• 情况一： $A$ 组恰有 2 支弱队（则 $B$ 组恰有 1 支弱队）。 此时从 3 支弱队中选 2 支，从 5 支强队中选 2 支放入 $A$ 组，组合数为 $C_3^2{C}_5^2=3\times 10=30$ 种。
• 情况二： $B$ 组恰有 2 支弱队（则 $A$ 组恰有 1 支弱队）。 此时从 3 支弱队中选 1 支，从 5 支强队中选 3 支放入 $A$ 组，组合数为 $C_3^1{C}_5^3=3\times 10=30$ 种。

因此，有一组恰有两支弱队的特定事件数 $m_1=30+30=60$。 所求概率为： $P_1=\frac{m_1}{n}=\frac{60}{70}=\frac{6}{7}$

答： $A、B$ 两组中有一组恰有两支弱队的概率为 $\frac{6}{7}$。

(2) 求 $A$ 组中至少有两支弱队的概率： “ $A$ 组中至少有两支弱队”这一事件可以分为两类互斥事件：

• 第一类： $A$ 组恰有 2 支弱队，由第(1)问可知，其组合数为 $C_3^2{C}_5^2=30$ 种。
• 第二类： $A$ 组恰有 3 支弱队，此时从 3 支弱队中选 3 支，从 5 支强队中选 1 支放入 $A$ 组，组合数为 $C_3^3{C}_5^1=1\times 5=5$ 种。

因此， $A$ 组中至少有两支弱队的特定事件数 $m_2=30+5=35$。 所求概率为： $P_2=\frac{m_2}{n}=\frac{35}{70}=\frac{1}{2}$

答： $A$ 组中至少有两支弱队的概率为 $\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义；不放回抽样中的组合数计算；互斥事件和的概率公式。
2. 核心方法：分类计数法。
3. 避坑指南：
   • 在第(1)问中，极易发生漏掉其中一半情况的失误，只算了“ $A$ 组恰有 2 支弱队”，漏掉了“ $B$ 组恰有 2 支弱队（即 $A$ 组恰有 1 支）”，导致算出 $\frac{3}{7}$ 的错误答案。审题时注意“有一组恰有”是对称性描述，需要兼顾 $A$ 和 $B$ 两侧。
   • 分组问题中，只需指定其中一组（如 $A$ 组）的构成，另一组（ $B$ 组）即天然确定，无需再对 $B$ 组重复乘以组合数，否则会导致计数重复。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与组合计数，考查等可能分组问题中事件概率的计算。
2. 结论推广: 分组问题求概率，先确定总的基本事件数（用组合数），再计数满足条件的分法；当两组成员数相同、存在对称性时，可结合对称性简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-19 解-摸球古典概型
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用
• 2013-江西卷文-18 解-向量数量积概率