2004-全国卷II理-16 填-空间线面垂直

本题导读

本题考查空间线面垂直的判定与性质，以及面面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 下面是关于四棱柱的四个命题： ① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中，真命题的编号是 $\underline{}$. (写出所有真命题的编号)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于①③，通过构造相对侧面垂直但侧棱倾斜的斜四棱柱，以及所有面均为全等菱形的斜平行六面体进行反例排除。
2. 对于②，根据面面垂直的性质定理，两相交垂直面与底面均垂直时，其交线垂直于底面，结合侧棱平行于交线的性质得出侧棱垂直底面。
3. 对于④，引入空间向量，利用四棱柱对角线长度相等，结合向量模的平方展开，推导出侧棱向量垂直于底面两相交对角线向量，进而判定线面垂直。

✅【答案】

Success

$\text{(2)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

① 假命题。若相对的两个侧面垂直于底面，而另外两个侧面倾斜（可想象将长方体沿一组对边平移推斜），此时侧棱不垂直于底面，不是直四棱柱。 ② 真命题。过相对侧棱的截面（即两个对角面）均垂直于底面。由面面垂直的性质定理，若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面。因为棱柱的侧棱均平行于这两个对角面的交线，故侧棱也垂直于底面，该四棱柱为直四棱柱。 ③ 假命题。构造一个各棱长均相等的斜平行六面体，其四个侧面都是全等的菱形，但侧棱不垂直于底面，不是直四棱柱。 ④ 真命题。设底面四边形为 $ABCD$，上底面对应点为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，侧棱向量为 $\vec{h}$。四棱柱的四条体对角线分别为 $A{C}_1,A_{1}C,B{D}_1,B_{1}D$。 由题意，它们长度两两相等。 因为 $|\overrightarrow{A{C}_1}{|}^2=|\overrightarrow{A_{1}C}{|}^2$，即 $(\overrightarrow{AC}+\vec{h}{)}^2=(\overrightarrow{AC}-\vec{h}{)}^2$。 展开并化简得：$4\overrightarrow{AC}\cdot \vec{h}=0$，即 $\vec{h}\perp \overrightarrow{AC}$。 同理，因为 $|\overrightarrow{B{D}_1}{|}^2=|\overrightarrow{B_{1}D}{|}^2$，即 $(\overrightarrow{BD}+\vec{h}{)}^2=(\overrightarrow{BD}-\vec{h}{)}^2$。 展开并化简得：$4\overrightarrow{BD}\cdot \vec{h}=0$，即 $\vec{h}\perp \overrightarrow{BD}$。 因为 $AC$ 与 $BD$ 是底面四边形内两条相交直线，故 $\vec{h}$ 垂直于底面，即侧棱垂直于底面，该四棱柱为直四棱柱。

综上，真命题的编号为②④。

答：②④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱柱的定义（侧棱垂直于底面）；面面垂直交线的性质；向量模长平方公式的应用。
2. 核心方法：特殊位置反例法、几何推导定性分析、向量代数定量计算。
3. 避坑指南：判定①时极易错误地默认“两个侧面”是“相邻的两个侧面”。如果是相邻两个侧面垂直于底面，交线即侧棱，此时命题成立；但题目仅说“两个侧面”，若为相对侧面则不成立，必须严谨分类。判定④时采用向量表示体对角线是最高效的恒等性质方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直棱柱的判定与线面垂直，考查对棱柱几何特征命题的真假辨析。
2. 结论推广: 判断棱柱是否为直棱柱，关键看侧棱是否垂直于底面；仅凭侧面垂直于底面、侧面全等或对角线相等都不足以推出直棱柱，需逐条结合反例辨析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直
• 1963-全国-04 解-二面角内垂线平面垂直棱
• 1996-全国卷文-07 单-空间线面关系的判定