2004-全国卷II理-12 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合，以及分类计数原理。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 在由数字 1, 2, 3, 4, 5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 ()

A. 56 个　　　　　B. 57 个　　　　　C. 58 个　　　　　D. 60 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 策略选择：采用分类讨论，按最高位（万位）数字 $2,3,4$ 分别计算符合条件的排列数。
2. 万位为 2：只需考虑大于 23145 的数。按千位是 3（进一步细分）、4、5 分类计数。
3. 万位为 3：所有由 1, 2, 4, 5 组成的全排列均满足大于 23145 且小于 43521。
4. 万位为 4：只需考虑小于 43521 的数。按千位是 1、2、3（进一步细分）分类计数。
5. 汇总总数：将上述三种情况的数量相加。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在由 1, 2, 3, 4, 5 组成的无重复数字的 5 位数中，首位（万位）只能是 2, 3, 4。我们分三种情况讨论：

第一类：万位数字为 2 此时只需保证该数大于 $23145$。

• 当千位数字为 $4$ 或 $5$ 时，由于 $24xxx>23145$ 且 $25xxx>23145$ 恒成立，后面 3 位任意排列。共有 $2\times A_3^3=2\times 6=12$ 个。
• 当千位数字为 $3$ 时，前两位固定为 $23$。
  • 百位为 $4$ 或 $5$ 时（$234xx,235xx$），大于 $23145$，有 $2\times A_2^2=2\times 2=4$ 个。
  • 百位为 $1$ 时，前三位为 $231$。剩余数字为 $4,5$，组成的数有 $23145$ 和 $23154$。严格大于 $23145$ 的只有 $23154$ 这 $1$ 个。 所以万位为 $2$ 的符合条件的数共有 $12+4+1=17$ 个。

第二类：万位数字为 3 此时前导数字为 3，形如 $3xxxx$。 显然 $23145<3xxxx<43521$ 恒成立。 剩余四个数字 $1,2,4,5$ 任意全排列，共有 $A_4^4=4!=24$ 个。

第三类：万位数字为 4 此时只需保证该数小于 $43521$。

• 当千位数字为 $1$ 或 $2$ 时，由于 $41xxx<43521$ 且 $42xxx<43521$ 恒成立，后面 3 位任意排列。共有 $2\times A_3^3=2\times 6=12$ 个。
• 当千位数字为 $3$ 时，前两位固定为 $43$。
  • 百位为 $1$ 或 $2$ 时（$431xx,432xx$），小于 $43521$，有 $2\times A_2^2=2\times 2=4$ 个。
  • 百位为 $5$ 时，前三位为 $435$。剩余数字为 $1,2$，组成的数有 $43512$ 和 $43521$。严格小于 $43521$ 的只有 $43512$ 这 $1$ 个。 所以万位为 $4$ 的符合条件的数共有 $12+4+1=17$ 个。

总计： 将三类情况的个数相加，总共有 $17+24+17=58$ 个。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有大小限制条件的排列问题（字典序计数）。
2. 核心方法：按高位逐层分类枚举法。
3. 避坑指南：题目要求是“大于”和“小于”，即严格不等式，因此在枚举到百位受限情况时，千万不要把边界值（23145 和 43521 本身）算进去。此题具有对称性（17+24+17），算出第一类即可直接推知第三类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 排列与数字计数，考查按数位分类统计满足大小区间的数的个数。
2. 结论推广: 统计介于两个数之间、无重复数字的数的个数，可固定首位后逐位分类讨论；也可用”小于上限的个数”减去”小于等于下限的个数”来求，避免遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2015-四川卷理-06 单-计数原理
• 2023-乙卷理-07 单-排列组合