2004-全国卷II理-04 单-圆

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及曲线关于直线的对称。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知圆 $C$ 与圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 关于直线 $y=-x$ 对称，则圆 $C$ 的方程为 ()

A. $(x+1{)}^2+y^2=1$　　　　　　　　　　B. $x^2+y^2=1$

C. $x^2+(y+1{)}^2=1$　　　　　　　　　　D. $x^2+(y-1{)}^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别对称变换规律：点或曲线关于直线 $y=-x$ 对称，等价于进行变量代换 $x\to -y$ 且 $y\to -x$。
2. 将代换关系直接代入原圆的方程，化简即可得到对称圆的方程。也可通过求圆心 $(1,0)$ 关于 $y=-x$ 的对称点 $(0,-1)$ 结合半径不变求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一（变量代换法）： 曲线关于直线 $y=-x$ 对称，对应的坐标代换公式为：将原方程中的 $x$ 换成 $-y$，$y$ 换成 $-x$。 将此代换应用到已知圆方程 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 中： $(-y-1{)}^2+(-x{)}^2=1$ 化简得： $(y+1{)}^2+x^2=1$ 即 $x^2+(y+1{)}^2=1$。

方法二（圆心对称法）： 已知圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的圆心为 $(1,0)$，半径 $r=1$。 点 $(x_0,y_0)$ 关于直线 $y=-x$ 对称的点坐标为 $(-y_0,-x_0)$。 故原圆心 $(1,0)$ 的对称点为 $(0,-1)$，此即圆 $C$ 的圆心。 由于对称变换不改变圆的半径，圆 $C$ 半径仍为 $r=1$。 所以圆 $C$ 的方程为 $(x-0{)}^2+(y-(-1){)}^2=1^2$，即 $x^2+(y+1{)}^2=1$。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程、关于直线 $y=-x$ 的对称。
2. 核心方法：变量代换法、几何特征量（圆心、半径）法。
3. 避坑指南：务必牢记关于特殊直线的对称代换规律：关于 $y=x$ 对称，则 $(x,y)\to (y,x)$；关于 $y=-x$ 对称，则 $(x,y)\to (-y,-x)$。若记混符号，极易错选为 (D) 或 (A)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础解析几何对称问题。
2. 结论推广: 一般地，任意曲线方程 $f(x,y)=0$ 关于直线 $y=-x$ 对称的曲线方程恒为 $f(-y,-x)=0$。此代数代换法对所有方程普遍适用，比求点对称更具普适性且不易出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1985-上海文-07 填-圆的标准方程