2004-全国卷II理-03 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及1的立方根的性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 设复数 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，则 $1+\omega =$ ()

A. $-\omega$　　　　　　　B. ${\omega }^2$　　　　　　　C. $-\frac{1}{\omega }$　　　　　　　D. $\frac{1}{{\omega }^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

解法一（直接代入计算法）：

1. 先计算 $1+\omega$ 的代数形式。
2. 逐一计算选项中代数式的值（如 $-\omega ,{\omega }^2,-\frac{1}{\omega },\frac{1}{{\omega }^2}$），与第一步的结果比对。

解法二（1的立方根性质法）：

1. 识别出 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 是 1 的一个虚立方根。
2. 利用其核心性质：${\omega }^3=1$ 以及 $1+\omega +{\omega }^2=0$。
3. 由 $1+\omega +{\omega }^2=0$ 直接移项得出 $1+\omega =-{\omega }^2$。
4. 由于选项中没有 $-{\omega }^2$，我们需要进一步变换。利用 ${\omega }^3=1$，可得 $-{\omega }^2=\frac{-{\omega }^3}{\omega }=-\frac{1}{\omega }$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接计算 已知 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。 首先计算 $1+\omega$： $1+\omega =1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

接着检验各选项： (A) $-\omega =-\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\ne 1+\omega$ (B) ${\omega }^2={\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^2=\frac{1}{4}-2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)+\frac{3}{4}{\mathrm{i}}^2=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\ne 1+\omega$ (C) $-\frac{1}{\omega }=\frac{-1}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}=\frac{-1\cdot \left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}=1+\omega$

故选项 C 正确。

方法二：利用性质 熟知 $\omega =-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 满足方程 $x^2+x+1=0$ 且 ${\omega }^3=1$。 所以， ${\omega }^2+\omega +1=0$，即 $1+\omega =-{\omega }^2$。 观察选项，没有直接等于 $-{\omega }^2$ 的式子。 由于 ${\omega }^3=1$，等式两边同除以 $\omega$，得 ${\omega }^2=\frac{1}{\omega }$。 因此， $1+\omega =-{\omega }^2=-\frac{1}{\omega }$。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的基本四则运算，特别是复数的乘法和除法分母实数化；1的虚立方根的代数特性。
2. 核心方法：暴力代入法、性质转化法。
3. 避坑指南：计算复数平方 $(\dots {)}^2$ 时注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 导致的符号变化；分母实数化时记得乘以共轭复数。熟记 ${\omega }^3=1$ 和 $1+\omega +{\omega }^2=0$ 可大幅提升解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的代数运算与单位根，考查复数乘方、加减的基本运算。
2. 结论推广: 三次单位根 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 满足 ${\omega }^3=1$ 且 $1+\omega +{\omega }^2=0$，据此可将高次幂降为 $1$、$\omega$、${\omega }^2$ 之一再计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-10 填-复数的乘方
• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1988-全国文-01 单-复数的乘方