2004-全国卷II理-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知集合 $M=\{x|x^2<4\}$， $N=\{x|x^2-2x-3<0\}$，则集合 $M\cap N=$ ()

A. $\{x|x<-2\}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|x>3\}$

C. $\{x|-1<x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x|2<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解一元二次不等式 $x^2<4$，求出集合 $M$。
2. 解一元二次不等式 $x^2-2x-3<0$，求出集合 $N$。
3. 将集合 $M$ 和 $N$ 的解集表示在同一数轴上，找出重叠部分，即为交集 $M\cap N$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 求解集合 $M$： 由 $x^2<4$，即 $x^2-4<0$，因式分解得： $(x-2)(x+2)<0$ 解得： $-2<x<2$。 所以 $M=\{x|-2<x<2\}$。

• 求解集合 $N$： 由 $x^2-2x-3<0$，因式分解得（十字相乘法）： $(x-3)(x+1)<0$ 解得： $-1<x<3$。 所以 $N=\{x|-1<x<3\}$。

• 求交集 $M\cap N$： 将集合 $M$ 和 $N$ 取交集，即求同时满足 $-2<x<2$ 和 $-1<x<3$ 的 $x$ 的范围。 画数轴取公共部分得： $-1<x<2$ 所以 $M\cap N=\{x|-1<x<2\}$。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式解法（“大于取两边，小于取中间”）、集合交集定义。
2. 核心方法：因式分解法、数轴求交法。
3. 避坑指南：解不等式时注意符号方向，求交集时在草稿纸上画数轴可有效避免看错区间端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合的交集运算与一元二次不等式的解法，是集合与不等式板块的入门组合题。
2. 结论推广: 求不等式解集间的交集，先分别解出各不等式的解集，再在数轴上取公共部分；涉及区间端点时注意开闭，端点能否取到要看原不等式的等号是否成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1987-上海-25 解-集合的运算