2004-全国卷I理-22 解-数列的递推关系

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于迭代法、累加法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1$，且 $a_{2k}=a_{2k-1}+(-1{)}^k$， $a_{2k+1}=a_{2k}+3^k$，其中 $k=1,2,3,\dots$.

(1) 求 $a_3,a_5$；

(2) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（第1问顺推）：已知首项 $a_1=1$。根据递推关系，令 $k=1$ 算出 $a_2,a_3$；再令 $k=2$ 算出 $a_4,a_5$。
2. 第二步逻辑（第2问奇数项降阶）：目标是求通项公式，由于递推式分奇偶给出，必须分类讨论。先将 $a_{2k}$ 的表达式代入 $a_{2k+1}$ 的表达式中，消去偶数项，得到纯奇数项的递推式 $a_{2k+1}-a_{2k-1}=(-1{)}^k+3^k$。
3. 第三步逻辑（累加法求奇数项通项）：针对奇数项 $a_{2m-1}$，利用累加法展开，等式右侧会形成两个独立的等比数列求和图形。应用等比数列求和公式，计算出奇数项的解析式。
4. 第四步逻辑（代入法求偶数项通项）：求出奇数项通项后，利用题干已知的 $a_{2k}=a_{2k-1}+(-1{)}^k$，将奇数项表达式代入，直接求出偶数项的解析式。最后以分段函数形式统一输出。

✅【答案】

Success

(1) $a_3=3$，$a_5=13$

(2) $a_{2k-1}=\frac{3^k+1}{2}$，$a_{2k}=\frac{3^k-1}{2}$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a_3,a_5$ 已知递推方程组为： $\{\begin{array}{l}{a}_{2k}=a_{2k-1}+(-1{)}^k\\ a_{2k+1}=a_{2k}+3^k\end{array}(k\ge 1)\text{（式1）}$ 已知初始边界条件 $a_1=1$。 令 $k=1$，代入（式1）中进行迭代： $a_2=a_1+(-1{)}^1=1-1=0\text{（式2）}$ $a_3=a_2+3^1=0+3=3\text{（式3）}$ 令 $k=2$，继续进行迭代： $a_4=a_3+(-1{)}^2=3+1=4\text{（式4）}$ $a_5=a_4+3^2=4+9=13\text{（式5）}$

答： $a_3=3$， $a_5=13$。

(2) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式 为了将耦合的奇偶项递推关系消元，将（式1）中的第一个方程 $a_{2k}=a_{2k-1}+(-1{)}^k$ 直接代入第二个方程 $a_{2k+1}=a_{2k}+3^k$ 中，消去偶数项中间变量 $a_{2k}$： $a_{2k+1}=\left[a_{2k-1}+(-1{)}^k\right]+3^k\text{（式6）}$ 移项构造出纯奇数项的二阶差分方程： $a_{2k+1}-a_{2k-1}=(-1{)}^k+3^k(k\ge 1)\text{（式7）}$

• 分类一：当 $n$ 为奇数时 设目标求值的项数为 $n=2m-1(m\in {\mathbf{N}}^{\ast })$。 当 $m\ge 2$ 时，利用差分累加法运算，将（式7）中的角标 $k$ 从 $1$ 累加到 $m-1$： $a_{2m-1}-a_1={\sum }_{i=1}^{m-1}(a_{2i+1}-a_{2i-1})={\sum }_{i=1}^{m-1}\left[(-1{)}^i+3^i\right]\text{（式8）}$ 将（式8）右侧的级数拆分为两个独立的等比数列求和图形： ${\sum }_{i=1}^{m-1}(-1{)}^i=\frac{-1\times [1-(-1{)}^{m-1}]}{1-(-1)}=\frac{-1+(-1{)}^{m-1}}{2}=\frac{-1-(-1{)}^m}{2}\text{（式9）}$ ${\sum }_{i=1}^{m-1}{3}^i=\frac{3\times (1-3^{m-1})}{1-3}=\frac{3-3^m}{-2}=\frac{3^m-3}{2}\text{（式10）}$ 将（式9）、（式10）代回（式8），并代入已知首项 $a_1=1$： $a_{2m-1}-1=\frac{-1-(-1{)}^m}{2}+\frac{3^m-3}{2}=\frac{3^m-(-1{)}^m-4}{2}\text{（式11）}$ 移项求得： $a_{2m-1}=1+\frac{3^m-(-1{)}^m-4}{2}=\frac{3^m-(-1{)}^m-2}{2}\text{（式12）}$ 由于 $n=2m-1⟹m=\frac{n+1}{2}$，将映射变量代回（式12）中，得到奇数项通项公式： $a_n=\frac{3^{\frac{n+1}{2}}-(-1{)}^{\frac{n+1}{2}}-2}{2}\text{（式13）}$ （验算边界 $n=1$ 时，$a_1=\frac{3^1-(-1{)}^1-2}{2}=1$，公式成立）。

• 分类二：当 $n$ 为偶数时 设目标求值的项数为 $n=2k(k\in {\mathbf{N}}^{\ast })$。 根据题干已知的原递推方程： $a_{2k}=a_{2k-1}+(-1{)}^k\text{（式14）}$ 将（式12）中求得的奇数项公式（此时变量 $m$ 等价替换为 $k$）直接代入（式14）中： $a_{2k}=\frac{3^k-(-1{)}^k-2}{2}+(-1{)}^k\text{（式15）}$ 通分合并同类项化简： $a_{2k}=\frac{3^k-(-1{)}^k-2+2(-1{)}^k}{2}=\frac{3^k+(-1{)}^k-2}{2}\text{（式16）}$ 由于 $n=2k⟹k=\frac{n}{2}$，将映射变量代回（式16）中，得到偶数项通项公式： $a_n=\frac{3^{\frac{n}{2}}+(-1{)}^{\frac{n}{2}}-2}{2}\text{（式17）}$

综上所述，结合（式13）与（式17），数列 $\{a_n\}$ 的通项公式分段表示为： $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{3^{\frac{n+1}{2}}-(-1{)}^{\frac{n+1}{2}}-2}{2},& n\text{ 为奇数}\\ \frac{3^{\frac{n}{2}}+(-1{)}^{\frac{n}{2}}-2}{2},& n\text{ 为偶数}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶交替递推式的代入消元消元技巧；累加法 $\sum (a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1$ 的标准应用；等比数列求和公式（注意项数 $m-1$ 与公比符号）。
2. 核心方法：代数消元降阶法、累加法。
3. 避坑指南：
   • 在使用累加法求奇数项通项时，极易将求和项数搞错（比如错误地从 $i=1$ 累加到 $m$，导致最后算出的等比和指数偏离）：目标项是 $a_{2m-1}$，累加 ${\sum }_{i=1}^M(a_{2i+1}-a_{2i-1})$ 的最后一项将是 $a_{2M+1}-a_{2M-1}$。要使其抵消后等于 $a_{2m-1}-a_1$，必须严格强制令 $2M+1=2m-1⟹M=m-1$。请牢记累加法边界铁律：‘凡是利用 $\sum$ 运算展开递推式，下笔前必须手工写出第一项和最后一项进行头尾对齐核验，确保累加次数 $M$ 严格符合代数映射’。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列的递推关系与等比数列求和，考查由递推式求通项与求和的基本功。
2. 结论推广: 对于隔项递推（如奇数项与偶数项分别递推），可将下标按奇偶分组，分别求通项后再合并；含 $(-1{)}^k$ 的递推式也可按 $k$ 的奇偶分类讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法