2004-全国卷I理-18 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于分类穷举相加法、期望的线性性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 一接待中心有 $A、B、C、D$ 四部热线电话，已知某一时刻电话 $A、B$ 占线的概率均为 $0.5$，电话 $C、D$ 占线的概率均为 $0.4$，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有 $\xi$ 部电话占线，试求随机变量 $\xi$ 的概率分布和它的期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（确定变量取值）：由于共有 4 部电话，该时刻占线的电话部数 $\xi$ 作为一个离散型随机变量，其所有可能的取值完整集合严格为： $\{0,1,2,3,4\}$。
2. 第二步逻辑（消元对偶事件概率）：由题目已知条件，写出各单项占线事件及其互斥对偶未占线事件的概率：
   • $P(A)=P(B)=0.5⟹P(\overline{A})=P(\overline{B})=1-0.5=0.5$；
   • $P(C)=P(D)=0.4⟹P(\overline{C})=P(\overline{D})=1-0.4=0.6$。
3. 第三步逻辑（分类穷举计算概率）：由于各部电话独立，利用乘法公式 $P(XY)=P(X)P(Y)$ 分别计算 $\xi =0,1,2,3,4$ 时的概率。例如 $\xi =1$ 包含“AB中有一部占线且CD全不占线”与“AB全不占线且CD中有一部占线”两类互斥事件，做加和运算。
4. 第四步逻辑（构建分布列与求期望）：将计算结果填入标准二维矩阵分布列表中，套用期望定义式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算均值。(另解：将 $\xi$ 拆解为两个独立的二项分布变量和，利用 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 快速验算)。

✅【答案】

Success

随机变量 $\xi$ 的概率分布列如上表所示，其数学期望为 $1.8$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：标定事件的基础概率恒等性质 记该时刻电话 $A,B,C,D$ 占线的事件分别为 $A,B,C,D$． 由题意，各事件相互独立，其对应概率及对偶未占线概率分别为： $P(A)=P(B)=0.5,P(\overline{A})=P(\overline{B})=1-0.5=0.5\text{（式1）}$ $P(C)=P(D)=0.4,P(\overline{C})=P(\overline{D})=1-0.4=0.6\text{（式2）}$

• 第二步：分类穷举计算各个随机变量对应的概率值 随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4$．运用独立事件乘法公式分别计算：

  • 当 $\xi =0$ 时（4部电话全不占线）： $P(\xi =0)=P(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D})=0.5\times 0.5\times 0.6\times 0.6=0.09\text{（式3）}$

  • 当 $\xi =1$ 时（恰有1部电话占线，分两类互斥状态）： ① $A,B$ 中有 1 部占线且 $C,D$ 全不占线： $C_2^1\times 0.5\times 0.5\times (0.6\times 0.6)=2\times 0.25\times 0.36=0.18$ ② $A,B$ 全不占线且 $C,D$ 中有 1 部占线： $(0.5\times 0.5)\times C_2^1\times 0.4\times 0.6=0.25\times 2\times 0.24=0.12$ $P(\xi =1)=0.18+0.12=0.30\text{（式4）}$

  • 当 $\xi =2$ 时（恰有2部电话占线，分三类互斥状态）： ① $A,B$ 全占线且 $C,D$ 全不占线： $(0.5\times 0.5)\times (0.6\times 0.6)=0.25\times 0.36=0.09$ ② $A,B$ 全不占线且 $C,D$ 全占线： $(0.5\times 0.5)\times (0.4\times 0.4)=0.25\times 0.16=0.04$ ③ $A,B$ 中有 1 部占线且 $C,D$ 中有 1 部占线： $(C_2^1\times 0.5\times 0.5)\times (C_2^1\times 0.4\times 0.6)=0.5\times 0.48=0.24$ $P(\xi =2)=0.09+0.04+0.24=0.37\text{（式5）}$

  • 当 $\xi =3$ 时（恰有3部电话占线，分两类互斥状态）： ① $A,B$ 全占线且 $C,D$ 中有 1 部占线： $(0.5\times 0.5)\times C_2^1\times 0.4\times 0.6=0.25\times 0.48=0.12$ ② $A,B$ 中有 1 部占线且 $C,D$ 全占线： $(C_2^1\times 0.5\times 0.5)\times (0.4\times 0.4)=0.5\times 0.16=0.08$ $P(\xi =3)=0.12+0.08=0.20\text{（式6）}$

  • 当 $\xi =4$ 时（4部电话全占线）： $P(\xi =4)=P(ABCD)=0.5\times 0.5\times 0.4\times 0.4=0.04\text{（式7）}$

  (概率归一化严格验证： $\sum P=0.09+0.30+0.37+0.20+0.04=1.00$，证明概率度量空间划分无偏漏错误。)

• 第三步：构建标准的随机变量分布列 由上述精算结果，建立标准的离散分布列矩阵表格：

$\xi$	0	1	2	3	4
$P$	0.09	0.30	0.37	0.20	0.04

• 第四步：求解数学期望 $E(\xi )$ 套用离散型随机变量数学期望定义式 $E(\xi )={\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i$： $E(\xi )=0\times 0.09+1\times 0.30+2\times 0.37+3\times 0.20+4\times 0.04\text{（式8）}$ 对（式8）各项分别进行标量计算并加和： $E(\xi )=0+0.30+0.74+0.60+0.16=1.80\text{（式9）}$

  (快捷另解：由于各电话是否占线相互独立，可将总占线部数看作两个独立二项分布图形的叠加，即 $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$，其中 ${\xi }_1\sim B(2,0.5)$ 表示A、B占线部数， ${\xi }_2\sim B(2,0.4)$ 表示C、D占线部数。根据期望的线性叠加性质 $E(X+Y)\equiv E(X)+E(Y)$，可直接实现验证： $E(\xi )=E({\xi }_1)+E({\xi }_2)=2\times 0.5+2\times 0.4=1.0+0.8=1.8$。)

答：随机变量 $\xi$ 的概率分布列如上表所示，其数学期望为 $1.8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立非同分布二项空间内部各阶离散点概率的穷举加和运算；分布列规范二维表格式的建立；数学期望运算的标准求法。
2. 核心方法：互斥分类加和法、期望线性叠加性质。
3. 避坑指南：
   • 在计算 $\xi =2$ 或 $\xi =3$ 时，极其容易因思维单一漏掉其中某个并列的互斥大类（如算 $\xi =2$ 时只算了AB占线CD不占、以及AB不占CD占，彻底漏掉‘AB中有一个且CD中有一个’这一权重最大的项），导致概率加和不等于 1：这是概率解答题最普遍的扣分点。请牢记概率大题归一化校验铁律：‘凡是计算完离散型随机变量的所有分布列概率后，交卷前必须无条件在草稿纸上把所有求得的概率值手工累加一遍，核对最终总和是否严格等于 1’。如果总和不为 1，说明中间必定发生了分类遗漏或算术笔误，立即重算，可完整拦截此类逻辑漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 相互独立事件的概率乘法公式与离散型随机变量分布列，是概率统计板块的基础应用题。
2. 结论推广: 对 $n$ 个相互独立的事件，求”恰有 $k$ 个发生”的概率，可先分类取定发生的是哪 $k$ 个，再对各事件用乘法公式相乘、对互补事件用 $1-p$ 表示，最后相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-安徽卷理-17 解-相互独立事件的概率