2004-全国卷I理-16 填-异面直线

本题导读

本题考查异面直线的概念，以及空间直线在平面上的正投影。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知 $a、b$ 为不垂直的异面直线， $\alpha$ 是一个平面，则 $a、b$ 在 $\alpha$ 上的射影有可能是： ① 两条平行直线； ② 两条互相垂直的直线； ③ 同一条直线； ④ 一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是 $\underline{}$.(写出所有正确结论的编号)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（核验①平行状态）：由于空间两条异面直线可以通过包含它们的平行平面向第三个平面投影，考查是否存在某种角度让两投影线保持平行。
2. 第二步逻辑（核验②垂直状态）：根据三垂线定理及其逆定理，由于原空间直线 $a,b$ 不垂直，考查是否能通过特定平面的法线方位，强行在射影平面上扭转出直角。
3. 第三步逻辑（核验③单一直线状态）：思考如果两条直线在平面上的射影是“同一条直线”，这意味着包含直线 $a$ 且垂直于 $\alpha$ 的投射平面，必须与包含直线 $b$ 且垂直于 $\alpha$ 的投射平面完全重合。由此推导原直线 $a,b$ 在空间中的位置关系，判定是否会与“异面”相矛盾。
4. 第四步逻辑（核验④点线并存状态）：若投射中出现“一点”，说明该空间直线本身必须严格垂直于投影面 $\alpha$。此时另一条异面直线 $b$ 必定不垂直于 $\alpha$。核验在这种配置下点与线的空间相交位置。

✅【答案】

Success

$\text{(1)}\text{(2)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

为了将抽象的空间射影具象化，建立一个标准的空间长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 模型进行辅助构造验证：

• 核验①：“两条平行直线”是否可能？
  • 构造模型：在长方体中，令平面 $\alpha$ 严格等价于底面 $ABCD$。选择异面直线 $a=A_1{B}_1$， $b=C{D}_1$。
  • 计算射影：
    • 直线 $a(A_1{B}_1)$ 在底面 $ABCD$ 上的正射影显然是直线 $AB$。
    • 直线 $b(C{D}_1)$ 的两个端点中， $C$ 本身在底面上， $D_1$ 在底面上的正射影为 $D$。因此直线 $b$ 在底面上的正射影是直线 $CD$。
  • 结论判定：因为在长方体底面内， $AB\parallel CD$，所以这两条异面直线在平面 $\alpha$ 上的射影是两条平行直线。且由于 $a\parallel AB$, $b$ 与 $CD$ 成 $45^{\circ }$ 角，原异面直线 $a,b$ 显然不垂直。故 ① 有可能。
• 核验②：“两条互相垂直的直线”是否可能？
  • 构造模型：同样在长方体中，令平面 $\alpha$ 为底面 $ABCD$。选择异面直线 $a=A_1{B}_1$， $b=B{C}_1$。
  • 计算射影：
    • 直线 $a(A_1{B}_1)$ 在底面上的正射影为直线 $AB$。
    • 直线 $b(B{C}_1)$ 的端点 $B$ 在底面上， $C_1$ 在底面上的正射影为 $C$。因此其在底面上的正射影为直线 $BC$。
  • 结论判定：在长方体矩形底面内， $AB\perp BC$，即两射影线严格垂直。同时，原空间直线 $a(A_1{B}_1)\parallel AB$，直线 $b(B{C}_1)$ 与 $BC$ 成 $45^{\circ }$ 角，利用异面直线夹角平移可知 $⟨a,b⟩=⟨AB,B{C}_1⟩=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$，完全符合“不垂直”的前提条件。故 ② 有可能。
• 核验③：“同一条直线”是否可能？
  • 反证法逻辑推理：假设异面直线 $a,b$ 在平面 $\alpha$ 上的射影为同一条直线 $l$。 根据正投影的定义，包含直线 $a$ 且垂直于平面 $\alpha$ 的平面记为 ${\beta }_1$，其与 $\alpha$ 的交线为 $l$； 包含直线 $b$ 且垂直于平面 $\alpha$ 的平面记为 ${\beta }_2$，其与 $\alpha$ 的交线也为 $l$。 因为过同一条已知直线 $l$ 且垂直于已知平面 $\alpha$ 的垂面在三维空间中有且仅有一个，所以平面 ${\beta }_1$ 与平面 ${\beta }_2$ 必须完全重合（即为一个统一的垂面 $\beta$）。 此时，空间直线 $a$ 和 $b$ 共同位于同一个平面 $\beta$ 内部。
  • 结论判定：根据定义，共面的两条直线要么相交，要么平行，绝不可能互为“异面直线”。这与题干给定的“ $a,b$ 为异面直线”产生直接的代数逻辑矛盾。故 ③ 绝不可能。
• 核验④：“一条直线及其外一点”是否可能？
  • 构造模型：若射影中包含“一个点”，说明其中一条直线（不妨设为 $a$）必须严格垂直于平面 $\alpha$。 在长方体中，令平面 $\alpha$ 为底面 $ABCD$。选定垂直于底面的侧棱 $a=A{A}_1$，此时它在底面上的正射影退化为孤立的点 $A$。 由于要求 $a,b$ 为异面直线，另一条直线 $b$ 不能与 $a(A{A}_1)$ 共面，且题目要求 $a,b$ 不垂直。因为 $a\perp \alpha$，若 $b\parallel \alpha$，则 $b\perp a$（冲突）；若 $b$ 的射影经过点 $A$，则 $b$ 与 $a$ 在空间中必交于点 $A$（冲突，不再异面）。 因此，我们只需在远离侧棱 $A{A}_1$ 且不平行于底面的斜线上进行构造，例如选定异面直线 $b=C{D}_1$。
  • 计算射影：
    • 直线 $a(A{A}_1)$ 在底面上的射影为孤立点 $A$。
    • 直线 $b(C{D}_1)$ 在底面上的正射影为直线 $CD$。
  • 结论判定：因为点 $A$ 位于直线 $CD$ 的外部，故整个投影图形表现为一条直线及其外一点。此时由于 $C{D}_1$ 与底面成 $45^{\circ }$ 角，它与垂直于底面的 $A{A}_1$ 的空间夹角为 $45^{\circ }\ne 90^{\circ }$，完全满足不垂直与异面的所有条件。故 ④ 有可能。

综上所述，可能呈现的几何投影状态编号为 ①②④。

填空题答案： ①②④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线的定义（不同在任何一个平面内）；线面垂直状态下直线投影退化为点；空间几何关系向平面投影关系的度量反转。
2. 核心方法：空间长方体模型法、反证法。
3. 避坑指南：
   • 本题最严重的翻车点在于对前提条件“不垂直”视而不见，或者在核验 ④ 时，误认为只要 $a\perp \alpha$，则 $a$ 必然垂直于空间的所有其他直线，从而漏选 ④：这是三维立体几何中最易混淆的线线垂直逻辑陷阱。一条直线垂直于平面（$a\perp \alpha$），它只能保证它垂直于平面内的“所有直线”，对于空间中不平行于该平面的斜线（如本题中的 $C{D}_1$），由于斜线自身带有非直角的倾斜角成分，它与垂线 $a$ 之间的空间夹角绝对不是 90°。理清“线面垂直不等于跟空间任意斜线都垂直”的代数界限，可确保在多项组合填空题中拿满 5 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材立体几何“空间直线与平面的位置关系”章节末尾的标准经典概念辨析拔高大题，是高考考查立体空间想象力与射影恒等性质性质最标准的拉分高档填空题。
2. 结论推广: 一般地，在三维仿射空间内，设两条非齐次仿射直线族图形分别为 $l_1:{\vec{r}}_1={\vec{p}}_1+\lambda {\vec{d}}_1$ 与 $l_2:{\vec{r}}_2={\vec{p}}_2+\mu {\vec{d}}_2$．其异面度量由行列式（混合积）严格限定： $({\vec{p}}_1-{\vec{p}}_2)\cdot ({\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2)\ne 0$。设投影平面 $\alpha$ 的单位法向量为 $\vec{n}$．根据运算投影矩阵（Projection Matrix） $P=I-\vec{n}{\vec{n}}^{\mathrm{T}}$ 的空间映射原理：
   • 射影退化为两条平行直线的充要条件是：两直线方向矢量的投影共线（$\left(P{\vec{d}}_1\right)\times \left(P{\vec{d}}_2\right)=\vec{0}$）且空间投射面不重合。
   • 射影退化为同一条直线的充要条件是：两直线的空间联合仿射展宽与法向量共面，这会导致原直线必然共面（与异面条件拓扑互斥，因而恒假）。 这一投影图形分类技术在现代计算机视觉（Computer Vision）的三维空间线段重建（3D Line Reconstruction）、机器视觉中的双目立体匹配（Stereo Matching）极线几何（Epipolar Geometry）约束算法中，构成了从二维相机照相平面（即平面 $\alpha$上的射影点线组合）反演、重构三维真实世界异面管道或钢筋构件空间相对方位最底层的解析几何数学判据核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切