2004-全国卷I理-15 填-数列的递推关系

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及差分运算与两式做差消项。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知数列 $\{a_n\}$，满足 $a_1=1$，$a_n=a_1+2a_2+3a_3+\cdots +(n-1)a_{n-1}(n\ge 2)$，则 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ \underline{},n\ge 2\end{array}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（写出对偶递推式）：已知包含所有前驱项加权和的 $a_n$ 表达式。为了利用做差法消去长和式，将递推式中的自变量 $n$ 齐次跃迁为 $n+1$，写出关于 $a_{n+1}$ 的对偶递推方程。
2. 第二步逻辑（两式相减消项）：将第一步写出的 $a_{n+1}$ 表达式与原 $a_n$ 表达式做差。观察发现， $a_{n+1}$ 的前 $n-1$ 项和与 $a_n$ 的长和式完全重合，通过做差可将其整体抹去，从而退化出 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的递推关系。
3. 第三步逻辑（分离变量求解）：对做差后的递推式进行变形，分离出两相邻项的比例函数 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n$。根据项的平移，写出 $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ 的函数。
4. 第四步逻辑（累乘运算还原）：计算出基础项 $a_2$ 的值作为初始迭代度量，再应用累乘法公式 $a_n=a_2\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\dots \frac{a_n}{a_{n-1}}$，将阶乘运算还原为常规多项式，输出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{n!}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：列出原递推式与后继项递推式 已知当 $n\ge 2$ 时，原方程为： $a_n=a_1+2a_2+3a_3+\cdots +(n-2)a_{n-2}+(n-1)a_{n-1}\text{（1式）}$ 当自变量满足 $n\ge 2⟹n+1\ge 3$ 时，写出其后继项 $a_{n+1}$ 的递推表达式： $a_{n+1}=a_1+2a_2+3a_3+\cdots +(n-1)a_{n-1}+n\cdot a_n\text{（2式）}$

• 第二步：两式做差实施消项化简 将（2式）与（1式）的左右两端分别进行对偶相减： $a_{n+1}-a_n=\left[a_1+2a_2+\cdots +(n-1)a_{n-1}+n{a}_n\right]-\left[a_1+2a_2+\cdots +(n-1)a_{n-1}\right]\text{（式3）}$ 观察（式3）右侧，前 $n-1$ 项的加权和图形完全全等，在减法运算下发生完全消除化简，等式化简为： $a_{n+1}-a_n=n\cdot a_n\text{（式4）}$ 将（式4）左侧的 $-a_n$ 移项至右侧并提取同类项： $a_{n+1}=n\cdot a_n+a_n⟹a_{n+1}=(n+1)a_n(n\ge 2)\text{（式5）}$

• 第三步：求解初始迭代边界度量 $a_2$ 因为（式5）的成立边界被限定在 $n\ge 2$（即自变量最小只能从 $\frac{a_3}{a_2}$ 开始迭代），我们必须独立依赖原方程计算出首个有效的衔接项 $a_2$ 的值。 将 $n=2$ 直接代入原始方程（1式）中： $a_2=(2-1)a_{2-1}=1\cdot a_1\text{（式6）}$ 题目已知首项 $a_1=1$，代入（式6）直接求得： $a_2=1\text{（式7）}$

• 第四步：利用累乘法运算还原通项公式 由（式5）分离自变量可得，当 $n\ge 2$ 时，相邻项的代数商图形严格满足： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n+1\text{（式8）}$ 对（式8）的下标执行齐次向下平移变换（将 $n$ 替换为 $n-1$）： $\frac{a_n}{a_{n-1}}=n(\text{此时边界要求 }n-1\ge 2⟹n\ge 3)\text{（式9）}$

  现在，针对 $n\ge 3$ 的空间，利用级联乘法恒等式进行展开： $a_n=a_2\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\cdot \frac{a_5}{a_4}\dots \frac{a_n}{a_{n-1}}\text{（式10）}$ 将比例恒等性质（式9）依次代入（式10）的各个分式因子中，并级联结合边界度量（式7） $a_2=1$： $a_n=1\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots n(n\ge 3)\text{（式11）}$ 为了将（式11）的连续自然数乘积转化为标准的阶乘运算（Factorial Operator），我们在分子上人工乘上 $2\times 1$ 并在前方除以 2 以维持数值守恒： $a_n=\frac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\dots n}{2}=\frac{n!}{2}(n\ge 3)\text{（式12）}$

  • 临界点完整性齐次融合核验： 我们将 $n=2$ 直接代入（式12）中进行边界外推算术验算： $\text{代入式 }=\frac{2!}{2}=\frac{2\times 1}{2}=1\text{（式13）}$ 观察可见，（式13）外推计算出的数值与第三步独立求得的精确值 $a_2=1$（式7）完全无损吻合。 因此，由归纳法恒等性质原理，公式（式12）的边界可以完整向左向下兼容兼容到 $n=2$。

综上所述，当 $n\ge 2$ 时，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $\frac{n!}{2}$。

填空题答案： $\frac{n!}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：通过后继项对齐做差（$a_{n+1}-a_n$）消去长加和递推项的通用技巧；累乘法中项数对齐与阶乘恒等性质 $\frac{n!}{2}$ 的构造。
2. 核心 method：邻项做差法、累乘法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在应用累乘法时，由于忽视了 $a_{n+1}=(n+1)a_n$ 的初始边界限定在 $n\ge 2$，从而错把 $a_1=1$ 当作乘积起点，盲目得出 $a_n=n!$ 这一错误答案：这是递推数列大类题中最经典的逻辑陷阱。如果错误地认为 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n+1$ 对 $n=1$ 成立，就会得到 $a_2=2a_1=2$，这与由原式直接算出的 $a_2=1\cdot a_1=1$ 发生严重不可调和的代数冲突。请牢记长和式递推铁律：‘凡是利用 $a_{n+1}-a_n$ 消除长加和式项，新得到的局部递推式其适用边界必然会自发发生收缩（通常要求 $n\ge 2$）。计算后续项时，必须无条件通过原已知式独立算出 $a_2$ 的标量值，作为累乘或累加的全新独立起点，绝不可盲目套用 $a_1$’。多写一步 $a_2$ 的校验，可确保在高考中绝不丢掉这最关键的 5 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材“数列与数学归纳法”章节关于复杂递推数列通项求解的核心经典复习拉分大题，是高考考查差分消项思维与离散分析算力最标准的送分中档填空题。
2. 结论推广: 若数列满足 $a_n={\sum }_{i=1}^{n-1}f(i)a_i(n\ge 2)$，则 $a_{n+1}-a_n=f(n)a_n$，即 $a_{n+1}=[1+f(n)]a_n$，从而 $a_n=a_1\cdot {\prod }_{i=1}^{n-1}[1+f(i)](n\ge 2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限