本题导读
本题考查圆的切线长定理，以及直角三角形中的三角函数。
📌【题干】
Question
（2004年全国卷I(理)） 由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ， ，则动点 的轨迹方程为 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一步逻辑（读出圆的核心要素）：由圆的方程 直接读出圆心 与半径 。
- 第二步逻辑（转化角度条件）：连接圆心 与动点 ，根据切线的对称几何性质， 严格平分两条切线的夹角，在直角三角形 中，锐角 。
- 第三步逻辑（求解恒等性质距离）：利用直角三角形的特殊锐角三角函数关系，求出斜边 的长度。
- 第四步逻辑（写出轨迹方程）：由于 为定长，动点 的轨迹显然是一个同心圆，套用圆的标准方程公式写出代数解。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
第一步：提取已知圆的基本几何量 已知圆的方程为 ，其圆心为坐标原点 ，半径为：
第二步：利用切线对称性将夹角向直角三角形化归 连接 ．根据圆的切线几何性质定理，圆心与切点的连线严格垂直于切线：
根据从圆外一点引圆的两条切线所具备的中心轴对称性质，圆心与外点的连线 严格平分切线夹角 ：
第三步：求解斜边 的几何定长 在直角三角形 中，直角边 ，其对应的对角 。根据正弦三角函数定义式： 将特殊角值 代入方程（式4）中：
第四步：写出动点 的轨迹方程 设动点 的坐标为 。 由（式5）可知，动点 到定点（原点 ）的欧氏距离恒等于定值 2： 对（式6）两边同时取平方，直接消除根号，输出动点 的标准轨迹方程：
填空题答案：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：切线中直角三角形 的构建； 30°所对直角边是斜边一半的初等几何定理应用。
- 核心方法：几何性质法（恒等性质法）。
- 避坑指南：
- 切勿混淆“轨迹”与“轨迹方程”的问法表述：题目明确要求填写的是“轨迹方程”，必须写成含有 的等式 ．如果填写为几何语言“以原点为圆心， 2 为半径的圆”，则不符合解析几何“方程化”的阅卷指标，会被判定为 0 分。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何“直线与圆的位置关系”章节关于切线长定理应用的课后核心复习基础题，是高考考查数形结合素养最标准的低档送分填空题。
- 结论推广: 过圆 外一点 作两条切线，若两切线夹角恒为 ，则由直角三角形边角关系 ，故动点 的轨迹是同心圆 。
🔗【关联脉络】
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