2004-全国卷I理-13 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及不等式的代数变形。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 不等式 $|x+2|\ge |x|$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：不等式两边均为非负数，可直接进行两边平方，利用 $|a{|}^2=a^2$ 的性质消去绝对值号。
2. 第二步逻辑：展开平方多项式，化简消去高次项 $x^2$，转化为一元一次不等式。
3. 第三步逻辑：解一元一次不等式，以集合或区间的规范形式输出最终结果。

✅【答案】

Success

$\{x|x\ge -1\}$ （或 $[-1,+\infty )$）

✍【详细解析】

Abstract

因为不等式两边 $|x+2|\ge 0$ 且 $|x|\ge 0$ 恒成立，对原不等式两边同时进行平方运算，不等号方向保持不变： $|x+2{|}^2\ge |x{|}^2\text{（式1）}$ 根据绝对值平方恒等性质性质 $|a{|}^2=a^2$，（式1）等价展开为： $(x+2{)}^2\ge x^2\text{（式2）}$ 应用完全平方公式展开（式2）左侧多项式： $x^2+4x+4\ge x^2\text{（式3）}$ 不等式两边同时减去 $x^2$，消去二次项： $4x+4\ge 0\text{（式4）}$ 对（式4）移项并两边同除以 4，得： $4x\ge -4⟹x\ge -1$

(另解：数形结合法。 $|x+2|\ge |x|$ 在几何上表示数轴上的动点 $x$ 到定点 $-2$ 的距离大于或等于到原点 $0$ 的距离。数轴上到 $-2$ 与 $0$ 距离相等的平衡中点为 $-1$，靠右侧的点离 $0$ 更近，即离 $-2$ 更远。因此动点 $x$ 必须位于中点 $-1$ 的右侧，直接得出 $x\ge -1$。)

最终以集合形式写出解集。

填空题答案： $\{x|x\ge -1\}$ （或 $[-1,+\infty )$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式两边同平方消去模长符号的技巧。
2. 核心方法：两边平方化简法。
3. 避坑指南：
   • 切勿漏掉填空题的规范表述格式：题目明确要求填写的是“解集”，结果必须写成集合形式 $\{x|x\ge -1\}$ 或区间形式 $[-1,+\infty )$．如果只写 $x\ge -1$，在高考阅卷标准中会因不符合集合外延表述而直接扣除全部分值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材第一册“不等式与绝对值”章节的课后标配基础练习题，是高考考查一维度规计算最标准的低档送分填空题。
2. 结论推广: 一般地，设绝对值不等式为 $|x-x_1|\ge |x-x_2|(x_1<x_2)$。根据欧氏距离的对称性原理，数轴上到两定点距离相等的核心平衡临界点为中点 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$。由于不等式要求动点到 $x_1$ 的距离大于等于到 $x_2$ 的距离，动点必须单向收缩在远离 $x_1$ 且靠近 $x_2$ 的一侧。因此不等式的解集为： $x\in \left[\frac{x_1+x_2}{2},+\infty \right)$ 本题即为该度量几何模型在 $x_1=-2,x_2=0$ 条件下的初等算术特例（直接代入通式可实现： $x\in [\frac{-2+0}{2},+\infty )⟹x\in [-1,+\infty )$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集