本题导读
本题考查古典概型，以及分类加法计数原理。
📌【题干】
Question
（2004年全国卷I(理)） 从数字 1, 2, 3, 4, 5 中，随机抽取 3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一步逻辑（计算基本事件总数）：抽取 3 个数字组成一个三位数，百位、十位、个位各有 5 种选择（允许重复）。由分步乘法原理直接算出样本空间的总基本事件数 ．
- 第二步逻辑（组合分类穷举）：设这三个数字（不考虑顺序）为 ，且满足 且 ．通过有序的代数穷举法，列出所有不重复的数字无序组合。
- 第三步逻辑（全排列计数）：针对第二步列出的每一种无序组合，根据其元素是否重复，利用排列公式（全排列 或相同元素排列 ）分别计算出可重组的三位数方案数。
- 第四步逻辑（求概率）：将所有合法方案数相加得到 ，利用古典概型公式 输出最终答案。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
第一步：计算总的基本事件数 组成一个三位数，需要对百位、十位、个位进行分步填数。 由于“允许重复”抽取，每个数位都可以从 这 5 个数字中任选 1 个。 根据分步乘法计数原理，总共可以组成的不同三位数方案数为：
第二步：对满足各位数字之和等于 9 的无序数字组合进行穷举 设三位数的三个数字分别为 ，满足约束方程组： 为了确保穷举过程不重不漏，不妨设定其大小偏序链为 ． 顺次从最小数字 开始向内推进分类：
- 当 时： ． 由于最大数字 ，且满足 ，唯一的可能组合为：
- 组合(1)：
- 组合(2)：
- 当 时： ． 根据 ，可能的组合为：
- 组合(3)：
- 组合(4)：
- 当 时： ． 根据 ，可能的组合为：
- 组合(5)：
至此，满足条件、不计顺序的独立数字组合共有且仅有上述 5 种形态。
第三步：针对各类无序组合进行排列计数 对于上述 5 种独立的数字组合，分别计算其在三个数位上的全排列方案数（组成具体三位数的种数）：
- 类型 A（三个数字各不相同）：包含组合(1) 和组合(4) ． 这 2 种组合内部的三个元素完全相异，每种组合组成三位数的排列种数为 种：
- 类型 B（有两个数字相同）：包含组合(2) 和组合(3) ． 这 2 种组合含有重复元素，每种组合组成三位数的排列种数为 种：
- 类型 C（三个数字完全相同）：仅包含组合(5) ． 该组合只能组成一个唯一的三位数（即 333），其排列种数为 1 种：
第四步：计算合法事件总数与古典概型概率 将上述三类互斥排列的方案数进行累加，求得各位数字之和等于 9 的合法三位数总数为：
根据古典概型概率计算公式，最终要求的概率为：
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分步乘法原理计算可重复排列样本空间 ；通过代数偏序关系实施不重不漏的整数拆分（Integer Partition）穷举；多重集元素全排列的消元计数。
- 核心方法：互斥分类穷举法、排列组合法。
- 避坑指南：
- 极其容易在数排列种数时，忽视数字重复的情况，一律按 计算，从而导致结果多算（如误认为有 种）：这是古典概型排列组合题中最普遍的粗心失分点。请牢记多重集排列铁律：‘对于 3 个位置的排列，若 3 个元素互不相同，排列数为 6；若有 2 个元素相同，排列数为 3；若 3 个元素全部相同，排列数仅为 1’。在写下加和前，无条件在草稿纸上把每种组合对应的具体三位数顺手列一下（如 144, 414, 441 共有 3 种），可完整拦截此类漏消元的低级错误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题出处为高中数学教材“计数原理与概率初步”章节关于可重复抽取概率计算的经典核心综合训练大题，是高考考查离散组合数学基本功与分类讨论严密性最标准的常规中档选择题。
- 结论推广: 一般地，设从包含 个连续正整数的集合 中，随机抽取 次（允许重复）组成一个 位数。若要求其各位数字之和严格等于常数 ．根据组合数学的母函数（Generating Function）与多项式系数定理，由于每次抽取的数字生成基底为 ，该合法事件的种数 恒严格等价于多项式 展开式中 项的系数。利用广义二项式定理展开，其古典概型的精确概率封闭解由以下代数映射完全确定： 本题即为该广义多项式配分图形在 条件下的初等算术特例。直接带入此推广封闭解通式可实现零穷举秒杀： 这一多项式系数反演技术在现代计算机网络工程的数据包校验和（Checksum）冲突概率评估、密码学中的离散哈希函数（Hash Function）雪崩效应碰撞检测算法中，构成了评估离散状态空间分布均匀度最底层的代数控制模型。
🔗【关联脉络】
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