2004-全国卷I理-09 单-诱导公式与同名化变换

本题导读

本题考查诱导公式与同名化变换，以及三角函数图像的平移变换。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 为了得到函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像，可以将函数 $y=\cos 2x$ 的图像 ()

A. 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度　　　　　　B. 向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度　　　　　　D. 向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同名化：初始函数为 $y=\cos 2x$，目标函数为正弦函数，先用诱导公式 $\cos \theta =\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$ 把余弦化为正弦。
2. 提系数：把两个正弦形式中 $x$ 的系数 2 提到括号外，写成只含自变量 $x$ 的形式。
3. 套平移法则：对比两个式子中 $x$ 的差值，按”左加右减”确定平移方向和单位。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：将 $y=\cos 2x$ 化为同名正弦函数 由诱导公式 $\cos \theta \equiv \sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$，令 $\theta =2x$： $y=\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\text{（式1）}$ 于是问题转化为：将 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ 的图像变换为 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像。

• 第二步：对两式分别提取系数 2 图象平移时，“左加右减”只针对自变量 $x$，因此先把系数 2 提到括号外：

  • 初始函数（式1）提取系数 2： $y_{\text{始}}=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]\text{（式2）}$
  • 目标函数提取系数 2： $y_{\text{目}}=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]\text{（式3）}$

• 第三步：比较平移量 设初始函数向右平移 $\Delta x(\Delta x>0)$ 个单位长度。由”向右平移，自变量减去 $\Delta x$“，将（式2）中的 $x$ 替换为 $(x-\Delta x)$： $y^{\prime }=\sin \left[2\left((x-\Delta x)+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left[2\left(x-\Delta x+\frac{\pi }{4}\right)\right]\text{（式4）}$ 要使（式4）与（式3）重合，两式中 $x$ 的相位应相等： $-\Delta x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{12}\text{（式5）}$ 解得 $\Delta x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}+\frac{\pi }{12}=\frac{4\pi }{12}=\frac{\pi }{3}\text{（式6）}$

  因为 $\Delta x=\frac{\pi }{3}>0$，且是向右平移，故图象应向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\cos \theta =\sin (\theta +\frac{\pi }{2})$；形如 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 图象平移时先提取系数 $\omega$，化为 $y=A\sin [\omega (x+\frac{\varphi }{\omega })]$。
2. 核心方法：提系数法、同名化变换法。
3. 避坑指南：
   • 未提取系数 2 直接对 $\frac{\pi }{2}$ 与 $-\frac{\pi }{6}$ 作差，会算出 $\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{6})=\frac{2\pi }{3}$，误以为平移 $\frac{2\pi }{3}$ 个单位。这是三角函数图象平移中最常见的错误。注意”左加右减”只对 $x$ 生效，不对 $\omega x$ 生效；自变量前有大于 1 的系数时，必须先把它提到括号外。本题先化成 $(x+\frac{\pi }{4})$ 与 $(x-\frac{\pi }{12})$，再用 $\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{12})=\frac{\pi }{3}$ 得答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查三角函数的图象平移与变换，属常规中档选择题。
2. 结论推广: 由 $\cos \theta =\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$，$y=\cos (\omega x+{\varphi }_1)$ 可化为 $y=\sin \left(\omega x+{\varphi }_1+\frac{\pi }{2}\right)$，再按 $\Delta x=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2}{\omega }$ 求平移量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明
• 1986-广东理-22 单-三角函数的奇偶性
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断