2004-全国卷I理-04 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的求解方法，以及映射与函数图形。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 函数 $y=\sqrt{x-1}+1(x\ge 1)$ 的反函数是 ()

A. $y=x^2-2x+2(x<1)$　　　B. $y=x^2-2x+2(x\ge 1)$

C. $y=x^2-2x(x<1)$　　　　　D. $y=x^2-2x(x\ge 1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求原函数的值域）：由已知条件 $x\ge 1⟹x-1\ge 0⟹\sqrt{x-1}\ge 0$。两边同时加上 1，锁定原函数的值域。该值域将作为反函数的硬性定义域。
2. 第二步逻辑（反解自变量 $x$）：将原方程 $y=\sqrt{x-1}+1$ 移项变形，两边整体平方，从而将 $x$ 用关于 $y$ 的二次整式进行显式表达。
3. 第三步逻辑（互换元输出结果）：将第二步求得的解析式中的 $x,y$ 互换，并附带上第一步求得的定义域，锁定最终选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 求解原函数的值域（确定反函数的定义域约束）： 已知原函数为： $y=\sqrt{x-1}+1\text{（式1）}$ 因为自变量满足刚性有界定义域： $x\ge 1⟹x-1\ge 0\text{（式2）}$ 根据算术平方根的非负几何性质，由（式2）可得： $\sqrt{x-1}\ge 0\text{（式3）}$ 在不等式（式3）两边同时加上 1，保持不等号方向不变，直接导出原函数的值域空间： $y\ge 1\text{（式4）}$ 根据反函数基本定理（原函数的值域完整等价于其余对偶反函数的定义域），反函数的自变量限制必须满足： $x\ge 1\text{（式5）}$ 由此可直接划去选项 A 与 C。

• 反解自变量 $x$ 的显式代数式： 对原方程（式1）进行移项，隔离根式项： $y-1=\sqrt{x-1}\text{（式6）}$ 由（式4） $y\ge 1⟹y-1\ge 0$，两边符合平方恒等性质法则。对（式6）两边同时取平方： $(y-1{)}^2=x-1\text{（式7）}$ 对（式7）左侧应用完全平方公式展开： $y^2-2y+1=x-1\text{（式8）}$ 将（式8）右侧的常数项 $-1$ 移项到左侧，解出 $x$ 的显式二次多项式： $x=y^2-2y+2\text{（式9）}$

• 互换自变量与因变量符号： 将（式9）中的自变量 $x$ 与因变量 $y$ 进行对偶互换，并级联结合（式5）确定的定义域范围： $y=x^2-2x+2(x\ge 1)$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反解代换法变换自变量；原函数值域向反函数定义域的强映射转换。
2. 核心方法：反解代换法、定义域卡位法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在反解出解析式后，由于漏看或漏算定义域范围，导致在 A 和 B 之间盲目猜测或发生误判：这是函数大类题中最经典的陷阱。请牢记反函数判定铁律：‘求反函数不写定义域，等同于无效解答’。原函数的解析式经过去根号变形后，其代数域会自发发生‘假性膨胀’（如本题中从开弧段 $\sqrt{x-1}+1$ 膨胀成了单调的双支抛物线 $x^2-2x+2$），必须无条件依赖原函数的值域去实施单支截断卡位。通过写明 $y\ge 1⟹x\ge 1$ 这一刚性步骤，可彻底秒杀干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“函数的单调性与反函数”章节的课后标准经典基础题，是高考考查反函数映射功底最标准的低档得分题。
2. 结论推广: 一般地，设初等超越图形满足 $y=(x-\alpha {)}^{1/n}+\beta (x\ge \alpha ,n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$。在射影空间内，为了维持一一映射（双射）的度量完整性，通过逆运算消元，其余对偶反函数图形在内严格由以下代数封闭方程组唯一锁定： $y=(x-\beta {)}^n+\alpha (\text{其有界定义域为 }x\ge \beta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性