2004-全国卷I文-16 填-异面直线射影命题

本题导读

本题考查异面直线，以及直线在平面上的射影。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 已知 $a$、$b$ 为不垂直的异面直线，$\alpha$ 是一个平面，则 $a$、$b$ 在 $\alpha$ 上的射影有可能是： ①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线； ③同一条直线； ④一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是$\underline{}$.（写出所有正确结论的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①构造：两条线方向不同、又不共面，但”抬起”后射影方向相同。
2. ②构造：两条线各自倾斜着抬起，使射影方向互相垂直，同时保证它们本身不垂直。
3. ③排除：射影同为一条直线，说明两线都不垂直于 $\alpha$ 且同在一个垂直于 $\alpha$ 的平面内，于是共面。
4. ④构造：$b\perp \alpha$ 时射影是一个点，再取与 $\alpha$ 斜交的 $a$，使其射影直线不过该点。

✅【答案】

Success

①②④

✍【详细解析】

Abstract

以下都取 $\alpha$ 为平面 $z=0$，逐一核对”异面、不垂直”这两个前提。

①可能：取 $a$ 过 $(0,0,1)$ 沿方向 $(1,0,0)$，$b$ 过 $(0,1,0)$ 沿方向 $(1,0,1)$。二者方向不平行，且叉积 $(1,0,0)\times (1,0,1)=(0,-1,0)$ 与连线向量 $(0,1,-1)$ 的点积为 $-1\ne 0$，故异面；$a\cdot b=1\ne 0$，故不垂直。它们到 $z=0$ 的射影分别是直线 $y=0$ 与直线 $y=1$，是两条平行直线。

②可能：取 $a$ 过原点沿方向 $(1,0,1)$，$b$ 过 $(0,1,0)$ 沿方向 $(0,1,1)$。二者异面（叉积 $(1,0,1)\times (0,1,1)=(-1,-1,1)$ 与连线向量 $(0,1,0)$ 的点积为 $-1\ne 0$），而 $a\cdot b=1\ne 0$，不垂直。它们的射影分别是 $x$ 轴与直线 $x=0$，同在 $z=0$ 内且互相垂直。

③不可能：若射影是同一条直线 $l$，则 $a$、$b$ 都不垂直于 $\alpha$（否则射影退化为一个点），因而都落在”过 $l$ 且垂直于 $\alpha$“的那个平面内，两线共面，与异面矛盾。

④可能：取 $b$ 过原点沿方向 $(0,0,1)$，它与 $\alpha$ 垂直，射影为点 $(0,0,0)$；取 $a$ 过 $(1,0,0)$ 沿方向 $(0,1,1)$，它的射影是直线 $\{(1,t,0)\}$，不过点 $(0,0,0)$。二者异面（叉积 $(0,1,1)\times (0,0,1)=(1,0,0)$ 与连线向量 $(-1,0,0)$ 的点积为 $-1\ne 0$），且 $a\cdot b=1\ne 0$，不垂直。

④能用”直线加一点”而不违背题设，靠的正是：若 $b\perp \alpha$，则 $a\perp b$ 当且仅当 $a\perp \alpha$，也就是当且仅当 $a$ 的射影退化成一个点。只要 $a$ 与 $\alpha$ 斜交，射影就是直线，$a$、$b$ 必然不垂直。

综上，正确结论为①②④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线射影命题
2. 核心方法：①平行、②垂直、④一条直线及其外一点均可构造；③同一条直线不可能（两线都不垂直于 $\alpha$ 时必同在一个与 $\alpha$ 垂直的平面内，从而共面）
3. 避坑指南：两处最容易想当然——一是”射影垂直”不等于”两线垂直”，两条线都抬起来以后原来的直角就被破坏；二是”一线平行 $\alpha$、一线垂直 $\alpha$“这种最省事的搭配，恰恰会推出两线垂直，直接违反题设。“可能”型命题构造一例即可，但举出的例子必须把题干每一个条件都验一遍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于空间直线在平面上的射影，教材”空间点线面位置关系”探究题
2. 结论推广: 一般化：两异面直线的射影形态取决于它们与平面的夹角关系；逐条构造实例验证”可能”，用共面矛盾排除”同一条直线”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-15 单-异面直线充分必要条件
• 2009-安徽卷文-15 填-四面体命题
• 2005-天津卷文-13 填-异面直线所成角