2004-上海卷理-19 解-函数定义域

本题导读

本题考查函数定义域的求解。核心在于集合法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 记函数 $f(x)=\sqrt{2-\frac{x+3}{x+1}}$ 的定义域为 $A$， $g(x)=\lg [(x-a-1)(2a-x)](a<1)$ 的定义域为 $B$.

(1) 求 $A$；

(2) 若 $B\subseteq A$，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解定义域 $A$：依据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于 0，且分式分母不能为 0，联立求解分式不等式。
2. 求解定义域 $B$：依据对数函数的性质，真数部分必须严格大于 0。解关于 $x$ 的一元二次不等式，并利用已知条件 $a<1$ 判定两根的大小关系以确定区间。
3. 子集包含分类讨论：由 $B\subseteq A$，由于 $B$ 是一个连续的开区间，而 $A$ 是由两段无界区间组成的并集，因此区间 $B$ 必须整体落在 $A$ 的左侧分支或右侧分支内，列出不等式组求解。

✅【答案】

Success

(1) $A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$

(2) $a\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[\frac{1}{2},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 求 $A$： 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负且分母不为 0： $2-\frac{x+3}{x+1}⩾0\text{且}x+1\ne 0$ 通分化简： $\frac{2(x+1)-(x+3)}{x+1}⩾0⟹\frac{x-1}{x+1}⩾0$ 等价于： $(x-1)(x+1)⩾0\text{且}x\ne -1$ 解得： $x⩾1$ 或 $x<-1$。 所以，集合 $A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$。

(2) 若 $B\subseteq A$，求实数 $a$ 的取值范围： 根据对数真数大于 0 的条件： $(x-a-1)(2a-x)>0$ 等价于变形为标准二次不等式： $[x-(a+1)](x-2a)<0$ 该不等式对应的两根为 $x_1=a+1$， $x_2=2a$。 比较两根大小： $(a+1)-2a=1-a$ 因为已知 $a<1$，所以 $1-a>0⟹a+1>2a$。 因此，解得定义域集合 $B=(2a,a+1)$。

因为 $B\subseteq A$，而 $A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$ 是两个互斥的无界区间的并集，开区间 $B$ 必须整体属于其中一段：

• 情况一： $B$ 包含于 $A$ 的左侧区间 $B\subseteq (-\infty ,-1)⟹a+1⩽-1⟹a⩽-2$

• 情况二： $B$ 包含于 $A$ 的右侧区间 $B\subseteq [1,+\infty )⟹2a⩾1⟹a⩾\frac{1}{2}$ 结合已知前提条件 $a<1$，此情况下的取值范围为 $\frac{1}{2}⩽a<1$。

综合上述两种情况，实数 $a$ 的取值范围为： $a⩽-2\text{或}\frac{1}{2}⩽a<1$ 写成集合形式为 $\left(-\infty ,-2\right]\cup \left[\frac{1}{2},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的有理化等价转换、含参二次不等式根的大小比较、子集概念的数轴边界划分。
2. 核心方法：数轴边界夹逼分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 化简分式不等式时切勿直接去分母。 $\frac{x-1}{x+1}⩾0$ 的分母含有未知数，直接去掉分母会漏掉 $x+1<0$ 的负数翻转可能，必须转化为整式乘积 $(x-1)(x+1)⩾0$ 处理。
   • 注意开闭区间在子集临界点处的等号取留。因为 $B=(2a,a+1)$ 是开区间，不包含端点，当 $a+1=-1$ 时， $B=(2a,-1)\subseteq (-\infty ,-1)$ 依然成立，故临界点 $-1$ 和 $1$ 处均能取到等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考函数定义域与集合综合解答题，属于考查分类讨论严谨度的常规中档题。
2. 结论推广: 一般地，对于连续开区间 $I=(x_1,x_2)$ 包含于离散有界（或无界）并集 $A=(-\infty ,M)\cup [N,+\infty )$ 的子集包含模型，其成立的充要条件恒为： $x_2⩽M$ 或 $x_1⩾N$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-安徽文-02 解-根式与对数化简