2004-上海卷理-15 单-坐标旋转变换

本题导读

本题考查坐标旋转变换，以及反函数与指数对数的互化。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象可由函数 $y=\lg (x+1)$ 的图象绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 得到，则 $f(x)=$ ()

A. $10^{-x}-1$　　　　B. $10^x-1$　　　　C. $1-10^{-x}$　　　　D. $1-10^x$

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一：特殊点代入法（秒杀法）
  1. 找到原函数 $y=\lg (x+1)$ 图象上的一个极其特殊的已知点，比如与坐标轴的交点。
  2. 将该点绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$，求出新点的坐标。
  3. 新点必然在目标函数 $y=f(x)$ 的图象上，将其坐标代入四个选项中验证真伪。
• 方法二：坐标逆代换法（通用解析法）
  1. 设目标函数 $y=f(x)$ 图象上任意一点为 $P(x,y)$。
  2. 将其绕原点顺时针旋转 $90^{\circ }$ 还原回去，得到原图象上的对应点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。由几何关系可知： $x^{\prime }=y,y^{\prime }=-x$。
  3. 将 $P^{\prime }$ 的坐标代入原方程 $y^{\prime }=\lg (x^{\prime }+1)$，化简出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一：特征点代入法 观察已知函数 $y=\lg (x+1)$，当 $x=0$ 时， $y=\lg (0+1)=\lg 1=0$。 即原函数图象经过坐标原点 $A(0,0)$。 因为原点绕自身旋转任意角度依然是原点，所以目标函数 $y=f(x)$ 也必然经过点 $(0,0)$。 将 $x=0$ 代入各选项：

• (A) $f(0)=10^0-1=0$

• (B) $f(0)=10^0-1=0$

• (C) $f(0)=1-10^0=0$

• (D) $f(0)=1-10^0=0$ 四项均满足，无法排除，需要再取一个特征点。

另取一特殊点：当 $x=9$ 时， $y=\lg (9+1)=\lg 10=1$。 即原函数图象经过点 $B(9,1)$。 将点 $B(9,1)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$，其横纵坐标对应的变换规律为 $(x,y)\to (-y,x)$。 变换后得到新点 $B^{\prime }(-1,9)$。 根据题意，点 $B^{\prime }(-1,9)$ 必然在目标函数 $y=f(x)$ 的图象上，即满足 $f(-1)=9$。

将 $x=-1$ 分别代入四个选项中检验：

• 对于 (A)： $f(-1)=10^{-(-1)}-1=10^1-1=9$，符合题意；
• 对于 (B)： $f(-1)=10^{-1}-1=\frac{1}{10}-1=-0.9\ne 9$，排除；
• 对于 (C)： $f(-1)=1-10^{-(-1)}=1-10=-9\ne 9$，排除；
• 对于 (D)： $f(-1)=1-10^{-1}=1-\frac{1}{10}=0.9\ne 9$，排除。

综上可知，只有 (A) 选项完全符合。

方法二：坐标逆代换法 设目标函数 $y=f(x)$ 图象上任意一点为 $P(x,y)$。 该点是由原函数 $y=\lg (x+1)$ 上的对应点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 得到的。 反过来，将 $P(x,y)$ 顺时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 即可还原为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。 由平面坐标旋转公式可知： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=-x\end{array}$ 因为点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 在原函数 $y^{\prime }=\lg (x^{\prime }+1)$ 的图象上，将上述变换关系代入： $-x=\lg (y+1)$ 根据对数的定义，将对数式改写为指数式： $y+1=10^{-x}$ 移项孤立 $y$，解得目标函数的解析式为： $y=10^{-x}-1$

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面坐标旋转变换（逆时针 $90^{\circ }$ 满足 $x_{\text{新}}=-y_{\text{旧}},y_{\text{新}}=x_{\text{旧}}$）、指数与对数的互化。
2. 核心方法：特殊点代入法、逆向坐标轨迹代换法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆顺逆时针的转换规律。在用方法二代换时，由于是将“未知”还原回“已知”，要把目标点顺时针转回去，坐标规律为 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=-x$。如果误用成了逆时针规律 $x^{\prime }=-y,y^{\prime }=x$，会错误地算到选项 (D)。
   • 在使用特征点法时，第一步往往优先选 $(0,0)$ 等特殊截距点，如果发现无法直接排除（四项均过原点），应果断选取能使对数式变为整数的第 2 个整点（如 $x=9$）再次验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是几何图形平移、对称、旋转变换在解析几何中的综合应用选择题。
2. 结论推广: 一般地，若函数 $y=g(x)$ 的图象可由 $y=f(x)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 得到，则其解析式满足的隐函数方程为 $-x\sin \theta +y\cos \theta =f(x\cos \theta +y\sin \theta )$。当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时， $\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{2}=0$，代入通式即得 $-x=f(y)$，这与方法二的推导完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-辽宁-03 解-指数与对数运算