2004-上海卷理-12 填-等比数列前n项和

本题导读

本题考查新定义概念题。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的无穷等比数列，下列 $\{a_n\}$ 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 $\underline{}$组. (写出所有符合要求的组号) ① $S_1$ 与 $S_2$；② $a_2$ 与 $S_3$；③ $a_1$ 与 $a_n$；④ $q$ 与 $a_n$. 其中 $n$ 为大于 1 的整数， $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确判别标准：要使一组量成为“基本量”，通过这组量联立方程求首项 $a_1$ 和公比 $q$ 时，必须有唯一确定的一组实数解。若方程无解、有无数个解或有多个不同解导致数列产生多种形态，则不能称为“基本量”。
2. 逐项列方程检验唯一性：
   • ① 由 $S_1$ 和 $S_2$ 转换成 $a_1$ 和 $a_2$，分析是否能唯一解出 $q$。
   • ② 联立 $a_2$ 与 $S_3$ 的表达式，分析方程组解的个数（注意高次方程可能引发多解）。
   • ③ 联立 $a_1$ 与 $a_n$，分析 $q^{n-1}=\frac{a_n}{a_1}$ 时，指数 $n-1$ 的奇偶性对 $q$ 的解的个数的影响。
   • ④ 联立 $q$ 与 $a_n$，当 $q$ 确定时，通过 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 分析 $a_1$ 的解是否唯一（需特值讨论 $q=0$ 的情况）。

✅【答案】

Success

$\text{(1)}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 一个无穷等比数列可以被首项 $a_1$ 和公比 $q$ 唯一确定。下面逐一分析四个组合能否唯一确定 $a_1$ 和 $q$：

• 对于①： $S_1$ 与 $S_2$ 根据前 $n$ 项和与通项的关系： $a_1=S_1$ $a_2=S_2-S_1$ 若 $S_1=0$，由于等比数列中首项 $a_1\ne 0$，此时数列不存在，不符题意。 若 $S_1\ne 0$，则首项 $a_1=S_1$ 唯一确定，公比为： $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{S_2-S_1}{S_1}$ 此时 $a_1$ 和 $q$ 均有唯一确定的实数值，因此①一定能成为“基本量”。

• 对于②： $a_2$ 与 $S_3$ 利用基本量展开： $a_2=a_{1}q$ $S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=a_1(1+q+q^2)$ 将 $a_1=\frac{a_2}{q}$ 代入 $S_3$ 的式子中（其中 $q\ne 0$）： $S_3=\frac{a_2}{q}(1+q+q^2)⟹S_3\cdot q=a_2+a_{2}q+a_2{q}^2$ 整理成关于 $q$ 的一元二次方程： $a_2{q}^2+(a_2-S_3)q+a_2=0$ 因为一个一元二次方程在判别式 $\Delta >0$ 时会存在两个不同的实数根（即求出两个不同的公比 $q$，从而对应两个不同的等比数列）。 例如：当 $a_2=2,S_3=7$ 时，方程为 $2q^2-5q+2=0$，解得 $q=2$ 或 $q=\frac{1}{2}$。 若 $q=2$，则 $a_1=1$，数列为 $1,2,4,\cdots$ 若 $q=\frac{1}{2}$，则 $a_1=4$，数列为 $4,2,1,\cdots$ 由于出现了两种不同的等比数列，不满足“唯一确定”的定义，故②不能成为“基本量”。

• 对于③： $a_1$ 与 $a_n$ （ $n>1$ ） 根据通项公式： $a_n=a_1{q}^{n-1}⟹q^{n-1}=\frac{a_n}{a_1}$ 当 $n$ 为奇数时， $n-1$ 为偶数。若 $\frac{a_n}{a_1}>0$，开偶次方根会产生正负两个不同的实数解。 例如：已知 $a_1=1,a_3=4(n=3)$，则 $q^2=4⟹q=2$ 或 $q=-2$。 对应的数列可以是 $1,2,4,\cdots$ 或 $1,-2,4,\cdots$。 由于解不唯一，故③不能成为“基本量”。

• 对于④： $q$ 与 $a_n$ （ $n>1$ ） 根据通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，

  • 当 $q\ne 0$ 时， $a_1=\frac{a_n}{q^{n-1}}$ 有唯一解，此时可唯一确定数列；
  • 当 $q=0$ 时，因为 $n>1⟹n-1⩾1$，所以对任意 $a_1$，都有 $a_n=a_1\times 0^{n-1}=0$。 此时若已知 $q=0,a_n=0$，方程变为 $0\cdot a_1=0$， ** $a_1$ 可以取任意非零实数**（有无数个解）。 由于当 $q=0$ 时无法唯一确定首项 $a_1$，不满足“一定能”的要求，故④不能成为“基本量”。

综上所述，一定能成为该数列“基本量”的只有第 ① 组。

答：①

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量的方程建模、方程解的唯一性判定（多解与无数解的排除）。
2. 核心方法：反例否定法、逻辑严密分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉高次幂引发的多解情况。在看③时，很多同学直接写出 $q=\sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}$，误以为这就是唯一解，从而漏掉了当 $n-1$ 为偶数时开方带来的正负双解。
   • 容易忽略公比 $q=0$ 的特例边界。在看④时，必须考虑到 $q=0$ 时等比数列退化为 $a_1,0,0,0,\cdots$ 的形态，此时已知 $a_n=0$ 根本无法反推首项 $a_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典新定义信息给予题，考查由题目信息提炼独立参数个数与方程个数之间的关系。
2. 结论推广: 对于一个确定型数学系统（如各类数列、圆锥曲线、多项式），若要使其拥有“唯一解（基本量）”，其所提供的不等价独立方程的个数必须等于系统独立未知数的个数，且相关方程在复数域或实数域上的代数交点数必须严格为 1。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-09 解-等比数列求公比
• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项
• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差