2004-上海卷理-10 填-绝对值函数

本题导读

本题考查绝对值函数的图象与性质，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 若函数 $f(x)=a|x-b|+2$ 在 $[0,+\infty )$ 上为增函数，则实数 $a、b$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析绝对值函数的基本形态：函数 $f(x)=a|x-b|+2$ 的图象是以 $(b,2)$ 为顶点的折线。
   • 当 $a>0$ 时，图象开口向上，呈 “V” 字形，在 $(-\infty ,b]$ 上单调递减，在 $[b,+\infty )$ 上单调递增；
   • 当 $a<0$ 时，图象开口向下，呈 “$\Lambda$” 字形，在 $(-\infty ,b]$ 上单调递增，在 $[b,+\infty )$ 上单调递减；
   • 当 $a=0$ 时， $f(x)=2$ 为常数函数，不具备严格单调性（本题默认为严格增函数）。
2. 结合给定区间约束参数：要使函数在 $[0,+\infty )$ 上为增函数，图象在该区间内必须只能是向上倾斜的射线。因此，开口必须向上（即 $a>0$），且单调递增区间的起点 $b$ 必须位于 0 的左侧或与 0 重合（即 $b⩽0$）。

✅【答案】

Success

$a>0$ 且 $b⩽0$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据绝对值函数的图象特征，分情况讨论参数 $a$ 的取值：

• 当 $a⩽0$ 时：

  • 若 $a=0$， $f(x)=2$ 为常数函数，在 $[0,+\infty )$ 上没有单调性，不合题意；
  • 若 $a<0$，函数 $f(x)=a|x-b|+2$ 的图象开口向下。此时函数在 $[b,+\infty )$ 上单调递减，不可能在无界区间 $[0,+\infty )$ 上恒为增函数，不合题意。

• 当 $a>0$ 时： 函数 $f(x)=a|x-b|+2$ 的图象开口向上，顶点坐标为 $(b,2)$。 去掉绝对值符号将其写为分段函数形式： $f(x)=\{\begin{array}{ll}a(x-b)+2=ax-ab+2,& x⩾b\\ -a(x-b)+2=-ax+ab+2,& x<b\end{array}$ 由 $a>0$ 可知， $-a<0$。因此： 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[b,+\infty )$。

  题目要求函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上为增函数， 根据单调区间的包含关系，给定区间 $[0,+\infty )$ 必须是其单调递增区间 $[b,+\infty )$ 的子集。 即满足： $[0,+\infty )\subseteq [b,+\infty )⟹b⩽0$

综上所述，实数 $a,b$ 的取值范围是 $a>0$ 且 $b⩽0$。

答：$a>0$ 且 $b⩽0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值折线函数的单调区间划分、区间包含关系的临界条件判定。
2. 核心方法：数形结合分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉边界等号。当 $b=0$ 时，单调增区间为 $[0,+\infty )$，完全符合题意，因此 $b⩽0$ 必须带等号。
   • 切勿将包含关系弄反。必须是“实际递增的范围”包裹住“题目要求的范围”，即 $b⩽0$。如果错写成 $b⩾0$，则在 $[0,b)$ 段函数处于递减状态，不符合在 $[0,+\infty )$ 全程递增的要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典填空题中关于基本初等函数（绝对值变形）单调性的定参问题。
2. 结论推广: 一般地，对于形如 $f(x)=A|x-x_0|+B$ 的复合折线函数，若要求其在 $[M,+\infty )$ 上单调递增，其充要条件为： $\{\begin{array}{l}A>0\\ x_0⩽M\end{array}$；若要求其在 $(-\infty ,M]$ 上单调递增，其充要条件为： $\{\begin{array}{l}A<0\\ x_0⩾M\end{array}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断