2004-上海卷理-09 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及组合数的奇偶性判定。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 若在二项式 $(x+1{)}^{10}$ 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 $\underline{}$. (结果用分数表示)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总项数（基本事件总数）：根据二项式定理， $(x+1{)}^{10}$ 的展开式共有 $10+1=11$ 项，各项的系数分别为组合数 $C_{10}^0,C_{10}^1,\cdots ,C_{10}^{10}$。
2. 计算并筛选奇数系数（目标事件数）：利用组合数的对称性 $C_{10}^r=C_{10}^{10-r}$，顺次计算或判定这 11 个组合数的奇偶性，统计出其中奇数的个数。
3. 求概率：利用古典概型公式 $P=\frac{\text{奇数项数}}{\text{总项数}}$ 计算。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求出展开式的总项数 二项式 $(x+1{)}^{10}$ 的展开式的通项为 $T_{r+1}=C_{10}^r{x}^{10-r}$，其中 $r=0,1,2,\cdots ,10$。 所以展开式共有： $N=10+1=11\text{ 项}$

• 第二步：判定各项系数 $C_{10}^r$ 的奇偶性 利用组合数的计算公式与对称性 $C_{10}^r=C_{10}^{10-r}$，依次分析：

  • 当 $r=0,10$ 时， $C_{10}^0=C_{10}^{10}=1$ （奇数，共 2 个）；
  • 当 $r=1,9$ 时， $C_{10}^1=C_{10}^9=10$ （偶数）；
  • 当 $r=2,8$ 时， $C_{10}^2=C_{10}^8=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$ （奇数，共 2 个）；
  • 当 $r=3,7$ 时， $C_{10}^3=C_{10}^7=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$ （偶数）；
  • 当 $r=4,6$ 时， $C_{10}^4=C_{10}^6=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$ （偶数）；
  • 当 $r=5$ 时， $C_{10}^5=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$ （偶数）。

  综上所述，系数为奇数的项对应的 $r$ 取值为： $0,2,8,10$。 即系数为奇数的项数共有： $m=4\text{ 项}$

• 第三步：计算古典概型概率 从 11 项中任取一项，该项系数为奇数的概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{4}{11}$

答：$\frac{4}{11}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： $(a+b{)}^n$ 展开式共有 $n+1$ 项、组合数的计算、古典概型基本公式。
2. 核心方法：对称性分组穷举法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将总项数误记为 10。 $(x+1{)}^{10}$ 展开后从 $x^0$ 项一直到 $x^{10}$ 项，项数是 $n+1=11$。若错把分母写成 10，会导致最终结果错误。
   • 计算组合数时可以利用对称性成对判定，例如算出了 $C_{10}^2=45$ 是奇数，则直接可知 $C_{10}^8$ 也是奇数，从而节省大块计算时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是二项式定理与初等概率论相结合的经典高考填空题。
2. 结论推广 (卢卡斯定理背景): 在高等数学及竞赛中，组合数 $C_n^r$ 的奇偶性有非常快速的判定结论：将 $n$ 和 $r$ 分别转化为二进制数，若 $n$ 的二进制表达式在所有 $r$ 为 1 的位上也都为 1（即没有“借位”），则 $C_n^r$ 为奇数，否则为偶数。 本题中 $n=10=(1010{)}_2$：
   • 若 $r=0=(0000{)}_2$，全包含， $C_{10}^0$ 为奇数；
   • 若 $r=2=(0010{)}_2$，第 2 位对应 10 的第 2 位也是 1，全包含， $C_{10}^2$ 为奇数；
   • 若 $r=8=(1000{)}_2$，全包含， $C_{10}^8$ 为奇数；
   • 若 $r=10=(1010{)}_2$，完全一致全包含， $C_{10}^{10}$ 为奇数； 而其余如 $r=1=(0001{)}_2$，其最后一位为 1，但 10 的二进制最后一位是 0，不包含，故必为偶数。由此可直接瞬杀得到 4 个奇数项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-07 填-古典概型的概率
• 1998-上海理-07 填-古典概型的概率
• 2005-山东卷文-18 解-摸球与不放回概率