2004-上海卷理-08 填-圆的几何性质

本题导读

本题考查圆的几何性质，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 圆心在直线 $2x-y-7=0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴交于两点 $A(0,-4),B(0,-2)$，则圆 $C$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用垂直平分线性质求圆心纵坐标 $b$：圆 $C$ 与 $y$ 轴相交得到的弦为 $AB$。根据圆的几何性质，弦 $AB$ 的垂直平分线必然经过圆心。由于 $A,B$ 均在 $y$ 轴上，垂直平分线是一条水平线，其方程即为圆心的纵坐标。
2. 利用直线方程求圆心横坐标 $a$：已知圆心 $(a,b)$ 在直线 $2x-y-7=0$ 上，将求得的纵坐标 $b$ 代入该直线方程，即可求出横坐标 $a$。
3. 计算半径 $R$ 并写出方程：利用圆心到点 $A$（或点 $B$）的距离公式计算出半径的平方 $R^2$，从而写出圆的标准方程。

✅【答案】

Success

$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求圆心纵坐标 圆 $C$ 与 $y$ 轴交于 $A(0,-4)$， $B(0,-2)$ 两点，则线段 $AB$ 是圆 $C$ 的一条弦。 根据垂径定理，弦 $AB$ 的垂直平分线必过圆心 $C$。 利用中点坐标公式，线段 $AB$ 的中点纵坐标为： $y_{\text{mid}}=\frac{-4+(-2)}{2}=-3$ 因为 $AB$ 在 $y$ 轴上，所以其垂直平分线的方程为 $y=-3$。 设圆心坐标为 $C(a,b)$，则必有： $b=-3$

• 第二步：求圆心横坐标 已知圆心 $C(a,-3)$ 在直线 $2x-y-7=0$ 上，将圆心坐标代入该直线方程中： $2a-(-3)-7=0$ $2a+3-7=0⟹2a=4⟹a=2$ 所以，圆心坐标为 $C(2,-3)$。

• 第三步：求圆的半径并写出方程 圆的半径 $R$ 即为圆心 $C(2,-3)$ 到点 $B(0,-2)$ 的距离，由两点间距离公式： $R^2=(2-0{)}^2+(-3-(-2){)}^2=2^2+(-1{)}^2=4+1=5$ 根据圆的标准方程格式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$，代入圆心 $(2,-3)$ 与 $R^2=5$ 得： $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$

答：$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：弦的垂直平分线过圆心、点在直线上坐标满足方程、圆的标准方程。
2. 核心方法：数形结合几何法（优于设一般式方程代入化简法）。
3. 避坑指南：
   • 写最终方程时注意符号反转。圆心纵坐标为 $-3$，代入标准方程 $(y-b{)}^2$ 时应变为 $(y+3{)}^2$，容易因粗心写成 $(y-3{)}^2$。
   • 标准方程右侧是 $R^2$ 而不是 $R$，直接用距离公式求出的平方数 5 即为右侧常数，不需要再加根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何直线与圆的性质大题及填空常考题。
2. 结论推广: 一般地，若圆过 $y$ 轴上两点 $(0,y_1)$ 和 $(0,y_2)$，则圆心纵坐标恒为 $b=\frac{y_1+y_2}{2}$。再结合圆心所在的几何约束轨迹方程，即可快速实现整体参数的一元化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明