2004-上海卷理-07 填-极坐标与直角坐标的互化

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 在极坐标系中，点 $M\left(4,\frac{\pi }{3}\right)$ 到直线 $l:\rho (2\cos \theta +\sin \theta )=4$ 的距离 $d=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化点 $M$ 的坐标：利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，计算出点 $M$ 在直角坐标系中的平面坐标 $(x_M,y_M)$。
2. 转化直线 $l$ 的方程：将直线方程展开为 $2\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =4$，同样利用代换关系将其化为直角坐标系下的一般式直线方程。
3. 计算距离：直接套用直角坐标系中的点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 求解。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{15}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：将点 $M$ 的极坐标化为直角坐标 已知点 $M$ 的极坐标为 $\rho =4,\theta =\frac{\pi }{3}$。 根据极坐标与直角坐标的互化公式： $x_M=\rho \cos \theta =4\times \cos \frac{\pi }{3}=4\times \frac{1}{2}=2$ $y_M=\rho \sin \theta =4\times \sin \frac{\pi }{3}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ 所以，点 $M$ 在直角坐标系中的坐标为 $\left(2,2\sqrt{3}\right)$。

• 第二步：将直线 $l$ 的极坐标方程化为直角坐标方程 已知直线方程为： $\rho (2\cos \theta +\sin \theta )=4$ 展开左侧括号： $2\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =4$ 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 得直角坐标一般式方程： $2x+y-4=0$

• 第三步：利用点到直线距离公式求 $d$ 计算点 $M\left(2,2\sqrt{3}\right)$ 到直线 $2x+y-4=0$ 的距离： $d=\frac{|2\times 2+1\times 2\sqrt{3}-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}$ $d=\frac{|4+2\sqrt{3}-4|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 对分母进行有理化处理： $d=\frac{2\sqrt{15}}{5}$

答：$\frac{2\sqrt{15}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：直角坐标化归法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆特殊角的正弦与余弦值。在转化点 $M$ 的坐标时，注意 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，若记反则会导致点坐标计算错误。
   • 最后的计算结果形如 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 时，务必进行分母有理化写成 $\frac{2\sqrt{15}}{5}$，以符合高考填空题的规范作答要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考极坐标与参数方程板块基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，极坐标系中求距离、面积、交点等几何问题，最稳定普适的工业级解法永远是统一化归到平面直角坐标系中解决。极坐标方程 $\rho (A\cos \theta +B\sin \theta )=C$ 对应的直角坐标直线永远是 $Ax+By=C$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1952-全国-19 填-原点到直线的距离
• 1985-上海理-03 填-点到直线的距离
• 1985-广东理-27 单-点到直线的距离与最值