2004-上海卷理-04 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的前n项和公式，以及无穷递缩等比数列的极限。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 的公比 $q=-\frac{1}{2}$，且 ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1})=\frac{8}{3}$，则 $a_1=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造奇数项子数列：设新数列 $b_n=a_{2n-1}$。利用原等比数列通项性质，求出子数列 $\{b_n\}$ 的首项与新公比 $q^{\prime }$ 的表达式。
2. 写出子数列的前 $n$ 项和及极限：新数列 $\{b_n\}$ 依然是等比数列，其前 $n$ 项和即为已知条件中的 $a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1}$。由于新公比满足 $|q^{\prime }|<1$，套用无穷递缩等比数列求和公式 $S=\frac{b_1}{1-q^{\prime }}$。
3. 方程求解：建立关于 $a_1$ 的一元一次方程，代入数据求解。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：构造并分析奇数项子数列 已知原等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q=-\frac{1}{2}$。 考虑由奇数项组成的子数列： $a_1,a_3,a_5,\cdots ,a_{2n-1},\cdots$ 计算其相邻两项的比值： $\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1{q}^2}{a_1}=q^2$ $\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_1{q}^4}{a_1{q}^2}=q^2$ 由此可知，奇数项构成的新数列仍是一个等比数列，其首项为 $a_1$，新公比记为 $q^{\prime }$： $q^{\prime }=q^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

• 第二步：利用无穷递缩等比级数公式求极限 因为新公比 $q^{\prime }=\frac{1}{4}$ 满足 $|q^{\prime }|<1$，所以该子数列的前 $n$ 项和在 $n\to \infty$ 时极限存在。 根据无穷递缩等比数列求和公式： ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1})=\frac{a_1}{1-q^{\prime }}$ 代入已知极限值 $\frac{8}{3}$ 与新公比 $q^{\prime }=\frac{1}{4}$ 得： $\frac{a_1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}$ 化简左侧分母： $\frac{a_1}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}⟹\frac{4}{3}{a}_1=\frac{8}{3}$

• 第三步：解方程求 $a_1$ 两边同时乘以 3 约去分母： $4a_1=8⟹a_1=2$

答：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列隔项子数列性质（原公比为 $q$，则隔项子数列公比为 $q^2$）、无穷等比级数求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$。
2. 核心方法：子数列转化方程法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将子数列的公比错当成原公比 $q$。奇数项是隔项抽取的，项与项之间相差两步（如 $a_3=a_1\cdot q\cdot q$），因此新公比是 $q^2=\frac{1}{4}$，而不是原公比 $-\frac{1}{2}$。
   • 注意极限公式的适用前提是公比的绝对值严格小于 1（即 $|q^{\prime }|<1$），本题 $\left|\frac{1}{4}\right|<1$ 满足条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考数列与极限交汇的基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于公比为 $q(|q|<1)$ 的无穷等比数列 $\{a_n\}$：
   • 其所有奇数项的和为： ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}=\frac{a_1}{1-q^2}$；
   • 其所有偶数项的和为： ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=\frac{a_{1}q}{1-q^2}$。 两式相加即为全项无穷和： $\frac{a_1(1+q)}{1-q^2}=\frac{a_1}{1-q}$，逻辑完全闭环。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1977-吉林-09 解-等比数列求公比