2004-上海卷理-02 填-抛物线的几何性质

本题导读

本题考查抛物线的几何性质，以及抛物线的顶点。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 设抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，准线方程为 $x=-1$，则它的焦点坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析抛物线的开口方向：已知准线为垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-1$，而顶点在 $(2,0)$，由于顶点在准线的右侧，故该抛物线对称轴为 $x$ 轴，开口向右。
2. 运用几何中点性质求解：根据抛物线的定义与对称性，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，即顶点是焦点与准线交点的中点。

✅【答案】

Success

$(5,0)$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由已知，抛物线的准线方程为 $x=-1$，其与对称轴 $y=0$（即 $x$ 轴）的交点坐标为 $K(-1,0)$。 设抛物线的焦点坐标为 $F(x_F,y_F)$，顶点坐标为 $A(2,0)$。

根据抛物线的几何性质，顶点 $A$ 是焦点 $F$ 与准线交点 $K$ 的中点， 因此它们横坐标满足中点公式： $x_A=\frac{x_F+x_K}{2}$ 代入数据得： $2=\frac{x_F+(-1)}{2}⟹4=x_F-1⟹x_F=5$

又因为抛物线的对称轴为 $x$ 轴，所以焦点的纵坐标与顶点相同，即 $y_F=0$。 故抛物线的焦点坐标为 $(5,0)$。

答：$(5,0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何结构关系（顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，即 $\frac{p}{2}$）。
2. 核心方法：数形结合中点公式法。
3. 避坑指南：
   • 切勿机械套用标准方程 $y^2=2px$。本题抛物线的顶点移位到了 $(2,0)$，不再是坐标原点。若盲目设方程为 $y^2=2px$ 会导致逻辑混乱。直接从几何距离出发，利用“焦点到顶点的距离等于顶点到准线的距离 $2-(-1)=3$”向右延伸 3 个单位，即可得出 $2+3=5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何圆锥曲线基础题。
2. 结论推广: 一般地，对于平移后的标准抛物线，若顶点为 $(h,k)$，准线方程为 $x=h-\frac{p}{2}$，则其焦点坐标必恒为 $\left(h+\frac{p}{2},k\right)$。本题中 $h=2,k=0,h-\frac{p}{2}=-1⟹\frac{p}{2}=3$，代入通式即得焦点为 $(2+3,0)=(5,0)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置
• 1987-广东理-12 单-抛物线的准线
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质