2004-上海卷理-01 填-两角和的正切公式

本题导读

本题考查两角和的正切公式，以及特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 若 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开和角正切公式：套用两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。
2. 特殊角数值代入：将 $\beta =\frac{\pi }{4}$ 对应的特殊值 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 以及已知的 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 整体代入分式化简。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据两角和的正切公式，将原式展开得： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}$

已知 $\tan \frac{\pi }{4}=1$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，代入上式中： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}\times 1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$

答：3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和正切展开式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。
2. 核心方法：直接公式代入法。
3. 避坑指南：
   • 牢记分母上的符号为负号。部分同学容易将公式记错，把分母错写成 $1+\tan \alpha \tan \beta$，导致算出 $\frac{1.5}{1.5}=1$。
   • 口算通分时，注意分子为 $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，分母为 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，分子分母同乘 2 即可迅速得到结果 3。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考三角函数板块第一题，属课本基础公式变形运算。
2. 结论推广: 一般地，若已知 $\tan \alpha =k$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{k+1}{1-k}(k\ne 1)$。该结论在解析几何求直线夹角、复数辐角主值旋转中具有广泛的直接口算价值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III理-09 单-一元二次方程
• 1953-全国-05 解-诱导公式求正切
• 1957-全国-03 解-半角公式证余切值