2004-上海卷文-18 解-框架用料最省

本题导读

本题考查基本不等式的实际应用。核心在于由面积约束消元，把用料长度化为单变量分式后用基本不等式求最省。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 $x$、$y$（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积 $8{\mathrm{cm}}^2$.问 $x$、$y$ 分别为多少（精确到 $0.001$ m）时用料最省？（原卷面积单位印作 ${\mathrm{cm}}^2$，与长度单位 m 不一致，按数值理解为 $8{\mathrm{m}}^2$ 计算）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角形底 $x$、腰 $\frac{x}{\sqrt{2}}$，面积约束 $xy+\frac{x^2}{4}=8$，$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$。
2. 用料 $L=2x+2y+2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x+\frac{16}{x}$。
3. $L⩾2\sqrt{16\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)}$，取等 $x=8-4\sqrt{2}$，$y=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$x=8-4\sqrt{2}\approx 2.343$ m，$y=2\sqrt{2}\approx 2.828$ m 时用料最省

✍【详细解析】

Abstract

设上部等腰直角三角形的斜边为 $x$，则两条直角边均为 $\frac{x}{\sqrt{2}}$，三角形面积为 $\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{x^2}{4}$.框架围成的面积满足 $xy+\frac{x^2}{4}=8$（$x>0$，$y>0$），于是 $y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$，其中 $0<x<4\sqrt{2}$.框架用料包括矩形的四条边和三角形的两条斜边，故用料长度 $L=2x+2y+2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=(2+\sqrt{2})x+2\left(\frac{8}{x}-\frac{x}{4}\right)=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x+\frac{16}{x}$. 由基本不等式，$L⩾2\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x\cdot \frac{16}{x}}=2\sqrt{16\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)}$，当且仅当 $\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x=\frac{16}{x}$ 时取等号。此时 $x^2=\frac{16}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}=\frac{16\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)}{\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)}=\frac{16\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)}{\frac{1}{4}}=96-64\sqrt{2}=(8-4\sqrt{2}{)}^2$，故 $x=8-4\sqrt{2}\approx 2.343$.此时 $y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}=(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\approx 2.828$.所以当 $x\approx 2.343$ m、$y\approx 2.828$ m 时用料最省。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：框架用料最省
2. 核心方法：面积约束 $xy+\frac{x^2}{4}=8$ 得 $y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$；用料 $L=2x+2y+2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x+\frac{16}{x}⩾2\sqrt{16\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)}$，取等 $x=8-4\sqrt{2}\approx 2.343$、$y=2\sqrt{2}\approx 2.828$
3. 避坑指南：三角形两腰长 $\frac{x}{\sqrt{2}}$、用料只算外框；基本不等式取等条件 $\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x=\frac{16}{x}$，先精确后近似

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于基本不等式的实际应用，教材”基本不等式”
2. 结论推广: 一般化：约束条件消元化为单变量分式，用 $t+\frac{k}{t}⩾2\sqrt{k}$；由面积约束写 $y$ 关于 $x$ 的式子，用料长度取等后精确值再近似

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2010-四川卷文-11 单-基本不等式最值
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值