2003-辽宁卷-12 单-正四面体的几何特征

本题导读

本题核心考查正四面体外接球表面积的计算。解题关键在于空间几何体的“补形思想”，将所有棱长相等的正四面体看作是由一个正方体交错顶点处的面对角线相连而成，从而将正四面体的外接球半径直接化归为正方体的体对角线长进行求解。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构识别归类：所有棱长均相等的四面体是标准的正四面体。

2. 巧妙构造补形：正四面体可以通过一个正方体来完美复现。正方体拥有 8 个顶点，选取交错的 4 个顶点相连，形成的 6 条面对角线长均相等，且恰好围成一个正四面体。

3. 转化对偶参数：正四面体的 4 个顶点即为该外接正方体 8 个顶点中的 4 个，故正四面体的外接球等价于该正方体的外接球。

4. 建立对角线等式：正方体的体对角线长即为外接球的直径 $2R$。设正方体棱长为 $x$，根据面对角线（即正四面体棱长）为 $\sqrt{2}$ 求出 $x$，进而求出球半径的平方项与整体表面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知，该四面体的 6 条棱长全部相等，为 $\sqrt{2}$，其为一个棱长 $L=\sqrt{2}$ 的标准正四面体。

采用正方体补形法：将该正四面体嵌入到一个正方体中，使正四面体的 6 条棱恰好对应正方体 6 个面上的对角线。

设补形后的正方体棱长为 $x$。 因为正方体每个面都是正方形，其面对角线长为 $\sqrt{2}x$。 已知该对角线长等于正四面体的棱长： $\sqrt{2}x=\sqrt{2}⟹x=1$

由于正四面体的 4 个顶点是该正方体顶点集的子集，所以正四面体的外接球也就是该正方体的外接球。

根据正方体的性质，正方体的体对角线长等于其外接球的直径 $2R$： $2R=\sqrt{x^2+x^2+x^2}=\sqrt{3}x$

将 $x=1$ 代入，求出球直径的平方（即 $4R^2$）： $(2R{)}^2=(\sqrt{3}\times 1{)}^2⟹4R^2=3$

根据球的表面积公式，直接将 $4R^2=3$ 作为整体代入计算： $S_{\text{球}}=4\pi R^2=\pi \cdot (4R^2)=3\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体与补形正方体棱长的几何变换比例（$L=\sqrt{2}x$），正方体外接球直径公式 $(2R{)}^2=3x^2$，球表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：正方体补形法。
3. 避坑指南：

   • 避免采用求正四面体的高以及高上的垂直中心分点这类传统解法。传统法涉及大量空间直角三角形的勾股定理嵌套，运算复杂且极易出错。

   • 最终求解的目标是表面积 $4\pi R^2$，可以把 $4R^2$ 作为一个代数整体进行替换，无需单独开方去求半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而提高作答速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何多面体外接球大板块中最经典的母题。主要考查空间想象力以及“化暗为明”的跨图形补形转化思想。
2. 结论推广:
   • 推广 1：对于任意棱长为 $L$ 的标准正四面体，其外接球直径的平方恒满足： $(2R{)}^2=\frac{3}{2}{L}^2$。
   • 推广 2：对应的外接球表面积通用代数公式为： $S_{\text{球}}=4\pi R^2=\frac{3}{2}\pi L^2$。 本题中直接将 $L=\sqrt{2}$ 代入该通式，可实现极速秒杀： $S_{\text{球}}=\frac{3}{2}\pi \cdot (\sqrt{2}{)}^2=3\pi$。该通式模型在处理所有多面体外接球问题时具有普适的简化效能。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比