2003-辽宁卷-11 单-坐标法与直线的方程

本题导读

本题核心考查解析几何中的物理光线反射模型。解题关键在于将物理学上的“入射角等于反射角”转化为几何学上的“关于边界轴对称”性质。通过将长方形沿反射边进行连续对称翻折（即“展平法”），将复杂的折线路径化归为一条直线，从而利用终点映射的坐标范围建立不等式求解。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$、 $DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$、 $P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角），设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1<x_4<2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　　　B. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　　C. $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本坐标初始化：由已知条件，长方形长 $AB=2$，宽 $BC=1$。中点 $P_0$ 坐标为 $(1,0)$。

2. 展平法化折为直：质点运动轨迹在长方形四边上发生连续镜面反射：

   • 第一次碰右壁 $BC$（$x=2$），将图形向右翻折；
   • 第二次碰上壁 $CD$（$y=1$），将图形向上翻折；
   • 第三次碰左壁 $DA$（$x=0$ 的映射位置），将图形继续向左（展平中向右）翻折；
   • 第四次落到下壁 $AB$（$y=0$ 的映射位置）。

3. 推导映射点坐标：找出终点 $P_4(x_4,0)$ 在对称展平后的平面直角坐标系中的虚像坐标 $P_4^{\prime }$。

4. 斜率列式求解：展平直线的斜率即为 $\tan \theta$。利用两点斜率公式表示出 $\tan \theta$，由 $1<x_4<2$ 反解出 $\tan \theta$ 的精确边界。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，长方形的边长为 $AB=2$，$BC=1$。 $P_0$ 为 $AB$ 的中点，则其坐标为 $P_0(1,0)$。 从 $P_0$ 出发的光线与 $AB$ 轴的正向夹角为 $\theta$，其初始斜率 $k=\tan \theta >0$。

为了避免分段求解四个碰撞点坐标，采用对称展平法：

1. 第一次反射在 $BC$（直线 $x=2$）：将长方形沿 $BC$ 向右轴对称翻折。
2. 第二次反射在 $CD$（直线 $y=1$）：将图形继续向上轴对称翻折。此时水平反射线 $AB$（$y=0$）被映射到高度为 $y=2$ 的水平线上。
3. 第三次反射在 $DA$（原直线 $x=0$）：在当前的展平结构中，左侧壁 $x=0$ 经第一次翻折后已映射到 $x=4$ 的位置。光线在 $x=4$ 处发生第三次碰撞，图形继续向右翻折。
4. 第四次到达 $AB$ 边：落点为 $P_4(x_4,0)$。在展平平面中，该点映射在高度为 $y^{\prime }=2$ 的边界上。

下面计算终点 $P_4$ 在展平直角坐标系中的最终映射坐标 $P_4^{\prime }(x_4^{\prime },y_4^{\prime })$：

• 纵坐标：图形仅向上翻折了一次，原处于 $y=0$ 的 $AB$ 边变为 $y_4^{\prime }=2$。
• 横坐标：原点横坐标为 $x_4$。第一次向右翻折关于 $x=2$ 对称，横坐标变为 $4-x_4$。第三次碰撞对应在展平轴的 $x=4$ 边界上，再次向右翻折对称，横坐标变为： $x_4^{\prime }=4+[4-(4-x_4)]=4+x_4$

因此，直线从起点 $P_0(1,0)$ 连通至展平终点 $P_4^{\prime }(4+x_4,2)$。 该直线的斜率恒为 $\tan \theta$： $\tan \theta =\frac{2-0}{(4+x_4)-1}=\frac{2}{3+x_4}$

由此可以反解出 $x_4$ 关于 $\tan \theta$ 的代数表达式： $3+x_4=\frac{2}{\tan \theta }⟹x_4=\frac{2}{\tan \theta }-3$

已知题目限定 $P_4$ 真实横坐标满足条件 $1<x_4<2$，代入建立一元一次分式不等式组： $1<\frac{2}{\tan \theta }-3<2$

各项同时加上 3： $4<\frac{2}{\tan \theta }<5$

各项同时除以 2： $2<\frac{1}{\tan \theta }<\frac{5}{2}$

由于各数项均为正数，取倒数并同时改变不等号的方向： $\frac{2}{5}<\tan \theta <\frac{1}{2}$

即 $\tan \theta$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：镜面反射的轴对称本质映射，利用对称性实现“化折为直”的降维，分式不等式的同向不等变形。
2. 核心方法：镜像展平法。
3. 避坑指南：

   • 极其容易在数横向翻折次数时，将第三次关于 $x=4$ 对称的坐标错算为 $8-x_4$。必须精确注意碰撞顺序：第一次碰右壁（$x=2$），第二次碰上壁（不影响横坐标），第三次碰的是左壁（此时已在展平轴的 $x=4$ 处），因此是向右延伸而非向内折回，横坐标映射为 $4+x_4$。

   • 避免采用解析法硬性求解交点方程组，四次联立会导致计算量过大且极易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解析几何中的高难度压轴选择题，考查光线反射与对称变换的综合运用。
2. 结论推广: 若一个长为 $a$、宽为 $b$ 的矩形，光线从底边某点出发，在水平方向完成 $M$ 次碰撞、垂直方向完成 $N$ 次碰撞，则可将其展平为 $M\times N$ 的大矩形，把终点映射到展平平面上的虚像点，再由起点与虚像点连线求斜率。所有碰撞周期性问题均可转化为展平后的直线斜率问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1958-四川-02 解-解分式不等式
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直