2003-辽宁卷-10 单-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线相交的弦中点问题。解题关键在于由焦点坐标确定双曲线的基本形态与几何量 $c^2$，进而利用“点差法”建立弦中点坐标、直线斜率与双曲线方程中参数 $a^2,b^2$ 之间的代数关联。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$，直线 $y=x-1$ 与其相交于 $M、N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是()

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

C. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本方程判定：由焦点 $F(\sqrt{7},0)$ 在 $x$ 轴上，可知双曲线标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，且焦距半长 $c=\sqrt{7}$，即 $a^2+b^2=c^2=7$。

2. 中点坐标求解：弦 $MN$ 的中点 $P(x_0,y_0)$ 必然在相交直线 $y=x-1$ 上。已知 $x_0=-\frac{2}{3}$，代入即可求出中点纵坐标 $y_0$。

3. 点差法构建关系：设 $M(x_1,y_1)$， $N(x_2,y_2)$，代入双曲线方程作差，结合中点坐标通式及直线斜率 $k=1$，推导出 $a^2$ 与 $b^2$ 的比例关系。

4. 求解参数方程：联立消元求出 $a^2$ 和 $b^2$ 的精确值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线的一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$，所以焦点在 $x$ 轴上，中心在原点。 设双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$

由焦点坐标可得： $c=\sqrt{7}⟹a^2+b^2=c^2=7\text{(1)}$

设直线 $y=x-1$ 与双曲线的两个交点坐标分别为 $M(x_1,y_1)$， $N(x_2,y_2)$，弦 $MN$ 的中点为 $P(x_0,y_0)$。 因为中点 $P$ 在直线 $y=x-1$ 上，已知其横坐标 $x_0=-\frac{2}{3}$，代入直线方程得： $y_0=x_0-1=-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$

因为点 $M$ 和点 $N$ 均在双曲线上，将其坐标代入双曲线标准方程： $\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\text{(2)}$ $\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1\text{(3)}$

两式相减（② - ③）可得： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}=\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}$

由于 $M,N$ 是两个不同的交点， $x_1-x_2\ne 0$，变形可得： $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$

根据中点坐标公式及直线斜率公式： $x_1+x_2=2x_0=-\frac{4}{3}$ $y_1+y_2=2y_0=-\frac{10}{3}$ $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k_{\text{直线}}=1$

代入上式变形中： $1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{10}{3}}⟹1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{2}{5}⟹b^2=\frac{5}{2}{a}^2\text{(4)}$

将 ④ 代入 ① 式中： $a^2+\frac{5}{2}{a}^2=7⟹\frac{7}{2}{a}^2=7⟹a^2=2$

将 $a^2=2$ 代入 ① 式可得： $b^2=7-2=5$

因此，该双曲线的方程为： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线几何性质中标准焦距公式 $a^2+b^2=c^2$，点差法中弦中点与割线斜率的对偶几何映射关系。
2. 核心方法：点差法。
3. 避坑指南：

   • 极易受椭圆性质的思维惯性影响，错记成 $a^2-b^2=c^2$，从而错选 B。

   • 在进行点差法移项时，注意分子分母的对应位置，双曲线对应的公式比值为 $\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_0}{y_0}=k$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于圆锥曲线板块中的中档常规选择题，主要考查解析几何核心三大工具之一——“点差法”的经典演练。
2. 结论推广: 对于焦点在 $x$ 轴上的标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若斜率为 $k$ 的直线与双曲线相交的弦中点为 $(x_0,y_0)$，则其代数参数恒满足统一的对偶比例公式： $\frac{b^2}{a^2}=\frac{k\cdot y_0}{x_0}$ 本题中代入 $k=1,x_0=-\frac{2}{3},y_0=-\frac{5}{3}$，可直接求得：$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1\times \left(-\frac{5}{3}\right)}{-\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}$。利用此推广结论可实现极速心算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程