2003-辽宁卷-09 单-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义与二次函数对称轴的综合应用。先由导数求切线斜率，再由倾斜角范围确定斜率的范围，最后转化为点 $P$ 到对称轴的距离。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 设 $a>0$，$f(x)=a{x}^2+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处切线的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则 $P$ 到曲线 $y=f(x)$ 对称轴距离的取值范围为()

A. $\left[0,\frac{1}{a}\right]$　　B. $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$　　C. $\left[0,\left|\frac{b}{2a}\right|\right]$　　D. $\left[0,\left|\frac{b-1}{2a}\right|\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立斜率范围：设切线倾斜角为 $\alpha$。已知 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，根据斜率与倾斜角的关系 $k=\tan \alpha$，利用正切函数的单调性求出斜率 $k$ 的取值范围。

2. 导数计算切线斜率：对二次函数 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)=2ax+b$。点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率即为 $f^{\prime }(x_0)=2a{x}_0+b$。

3. 转化目标距离：二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的对称轴方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。点 $P$ 到对称轴的距离为 $d=\left|x_0-\left(-\frac{b}{2a}\right)\right|=\left|x_0+\frac{b}{2a}\right|$。

4. 代数恒等变形求解：将第 2 步的斜率表达式进行整理，凑出目标距离 $d$ 的结构，结合第 1 步的范围求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求切线斜率的取值范围 设曲线在点 $P$ 处切线的倾斜角为 $\alpha$，斜率为 $k$。 已知 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，根据正切函数的性质，斜率范围为： $k=\tan \alpha \in \left[\tan 0,\tan \frac{\pi }{4}\right]⟹0\le k\le 1\text{(1)}$

第二步：利用导数表示切线斜率 对函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 求导得： $f^{\prime }(x)=2ax+b$ 因此，点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率为： $k=f^{\prime }(x_0)=2a{x}_0+b\text{(2)}$

将 ② 代入 ① 式中，得到关于 $x_0$ 的不等式： $0\le 2a{x}_0+b\le 1$

第三步：引入对称轴并转化目标距离 二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的对称轴为直线： $x=-\frac{b}{2a}$ 因此，点 $P(x_0,f(x_0))$ 到对称轴的距离 $d$ 为横坐标之差的绝对值： $d=\left|x_0-\left(-\frac{b}{2a}\right)\right|=\left|x_0+\frac{b}{2a}\right|$

第四步：对不等式变形求 $d$ 的范围 将第二步得到的不等式 $0\le 2a{x}_0+b\le 1$ 提取公因式 $2a$（已知 $a>0$）： $0\le 2a\left(x_0+\frac{b}{2a}\right)\le 1$

不等式各项同时除以正数 $2a$： $0\le x_0+\frac{b}{2a}\le \frac{1}{2a}$

由于各项均大于或等于 0，可以直接加上绝对值号： $0\le \left|x_0+\frac{b}{2a}\right|\le \frac{1}{2a}$

即目标距离 $d$ 的取值范围为： $d\in \left[0,\frac{1}{2a}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义 $f^{\prime }(x_0)=k$，倾斜角与斜率的关系，二次函数的对称轴。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

   • 极易在第 4 步中因为漏掉对称轴分母中的常数 $2$ 而误选 A。

   • 注意题干中给出的条件 $a>0$，这保证了不等式在同除以 $2a$ 时不需要改变不等号的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是导数与二次函数结合的中档选择题，考查将几何量转化为导数的代数条件。
2. 结论推广: 对于抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$)，其上一点处的切线斜率 $k$ 与该点到对称轴的距离 $d$ 满足 $|k|=2|a|\cdot d$，即 $d=\frac{|k|}{2|a|}$。由此，当 $k\in [0,1]$ 时，$d\in \left[0,\frac{1}{2a}\right]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-06 解-直线的斜率与倾角
• 1977-新疆文-07 解-两点式直线方程
• 1977-宁夏-07 解-两点直线方程