2003-辽宁卷-06 单-等差数列的通项公式

本题导读

本题核心考查等差数列基本量的求解与通项公式的应用。解题关键在于利用等差数列的通项公式，将已知条件转化为关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的线性方程，求出公差后代入末项方程逆解出项数 $n$。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\frac{1}{3}$，$a_2+a_5=4$，$a_n=33$，则 $n$ 为()

A. 48　　　　　　　B. 49　　　　　　　C. 50　　　　　　　D. 51

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量代换：设等差数列的公差为 $d$。由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，将已知条件 $a_2+a_5=4$ 展开为含 $a_1$ 和 $d$ 的代数式。

2. 求解公差：将已知的 $a_1=\frac{1}{3}$ 代入展开后的方程中，求出公差 $d$ 的具体数值。

3. 逆解项数：将 $a_1$、 $d$ 以及末项 $a_n=33$ 一并代入通项公式中，建立关于 $n$ 的一元一次方程，解出 $n$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设该等差数列的公差为 $d$。 根据等差数列通项公式，各项可表示为： $a_2=a_1+d$ $a_5=a_1+4d$

代入已知条件 $a_2+a_5=4$ 中： $(a_1+d)+(a_1+4d)=4$ $2a_1+5d=4$

将 $a_1=\frac{1}{3}$ 代入上式： $2\times \frac{1}{3}+5d=4$ $\frac{2}{3}+5d=4$

移项并求解 $d$： $5d=4-\frac{2}{3}⟹5d=\frac{10}{3}⟹d=\frac{2}{3}$

已知末项 $a_n=33$，再次代入通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$： $\frac{1}{3}+(n-1)\times \frac{2}{3}=33$

方程两边同乘以 3 以消去分母： $1+2(n-1)=99$ $1+2n-2=99$ $2n-1=99⟹2n=100⟹n=50$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项通式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 的正逆向运用。
2. 核心方法：基本量方程法。
3. 避坑指南：

   • 基础分数运算时需细心，例如 $4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$，避免因心算粗心导致公差 $d$ 算错。

   • 在最后一步解 $1+2(n-1)=99$ 时，可以直接化简为 $2(n-1)=98⟹n-1=49⟹n=50$，这样比全部拆开更能减少运算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于数列板块中最基础的常规性质选择题，直接考查教材中等差数列定义与通项公式的基本代数运算，属于高考中的送分题。
2. 结论推广: 在任意等差数列 $\{a_n\}$ 中，若已知 $a_1$ 且 $a_p+a_q=S$，则公差 $d$ 的通用计算通式为： $d=\frac{S-2a_1}{p+q-2}$ 本题中代入 $p=2,q=5,S=4,a_1=\frac{1}{3}$，可直接求得： $d=\frac{4-\frac{2}{3}}{2+5-2}=\frac{\frac{10}{3}}{5}=\frac{2}{3}$。利用此结构通式可实现基本量的极速心算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1987-广东文-25 单-等差数列的通项